얼마나 늘어날까?

오른쪽 물체를 일정한 힘 $F$로 당기면 용수철은 얼마까지 늘어날 수 있을까? 단, 당기기 시작할 때 두 물체는 정지상태이고 용수철은 늘어나거나 압축되지 않았다.

1. $F/4k$

2. $F/2k$

3. $F/k$

4. $2F/k$

5. 용수철이 끊어지기 전까지 늘어날 수 있다.

두 물체의 질량중심 좌표계에서 일-에너지 정리를 사용해도 되지만, 직접 운동 방정식을 푸는 방법을 사용하면

$$m{\ddot{x}}_1=-k(x_1-x_2),m{\ddot{x}}_2=-k(x_2-x_1)+F.$$

두 물체의 상대좌표 $x=x_2-x_1$에 대한 방정식은

$$\ddot{x}=-\frac{2k}{m}x+\frac{F}{m}.$$

용수철의 자연 길이가 ${\ell }_0$면  이 방정식의 해는 ($x(0)={\ell }_0,\dot{x}(0)=0$)

$$x(t)={\ell }_0+\frac{F}{2k}(1-\cos (\sqrt{\frac{2k}{m}}t))$$

이므로 $max(|x-{\ell }_0|)=F/k$.