버스가 갑자기 가속을 하면 서 있는 사람은 넘어질 수 있다. 어느 정도의 가속도에서 넘어질까? 넘어지는 기준은 가속도 방향의 발이 바닥에서 떨어질 조건과 같다. (물론 실제 상황에서는 몸을 다시 움직여서 안 넘어지려는 시도를 할 수 있지만, 여기서는 사람을 딱딱한 강체로 근사한다. 또한 미끄러짐은 생각하지 않는다)
- $dg/h$
- $dg/(2h)$
- $hg/d$
- $hg/(2d)$
사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심의 높이 = $h$)와 양발(간격 = $d$)에 작용하는 수직항력과 차와 같이 움직이게 하는데 필요한 마찰력이 있다. (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다) 사람의 자유물체도는 아래와 같다:
미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동 방정식과 질량중심에 대한 회전 운동 방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 $f_1$, $f_2$, $N_2$는 반시계 방향으로 회전시키려하고 $N_1$은 시계 방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)
$$\sum F_x = f_1 + f_2 = Ma,$$
$$ \sum F_y = N_1 + N_2 - Mg = 0,$$
$$\sum \tau_\text{cm} = (f_1 + f_2 ) h + (N_2 - N_1 ) \frac{d}{2} = 0$$
풀어야 할 미지수는 $f_1$, $f_2$, $N_1$, $N_2$로 4개인데 식이 3개밖에 없어 미지수가 완전히 결정이 안 되는 구조이지만 수직항력만은 구할 수 있다.
$$ N_1 = \frac{Mg}{2} + \frac{Mah}{d}, $$
$$N_2 =\frac{Mg}{2}-\frac{Mah}{d}.$$
넘어지지 않기 위해서는 양발에 걸리는 수직항력이 0 보다 커야 한다. $N_1$은 항상 양수이므로 $N_2 \ge 0$ 조건에서 넘어지지 않을 최대 가속도는
$$ a_\text{max} = \frac{dg}{2h}.$$
사람의 질량중심이 낮을수록($h$), 두 발을 넓게 벌릴수록($d$) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.
$h=100~\text{cm}, d=50~\text{cm}$ -> $a =2.45~{\rm m^2/s}$: 100 미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도
'Physics > 역학' 카테고리의 다른 글
| 실패의 풀린 실끝이 움직인 거리는? (0) | 2016.01.24 |
|---|---|
| Pisa의 탑은 얼마쯤 기울어지면 넘어지는가? (0) | 2016.01.23 |
| 냉장고를 밀면 넘어질까 아니면 미끄러질까? (0) | 2016.01.22 |
| 막대가 운동을 시작할 때 줄에 걸리는 힘은? (0) | 2016.01.21 |
| 구르는 캔 (0) | 2016.01.21 |
