Geometry & Recognition

간단히 추정하기 위해 탑을 균일한 원통형 기둥으로 생각하면 탑의 무게중심을 지나는 연직선이 탑의 맨 아래 가장자리를 넘어서는 경우에 넘어지게 된다. 왜냐하면 이 경우에 중력이 만드는 넘어지는 토크를 상쇄시킬 방법이 없다. (물론 외부에서 줄로 당기면 된다) 따라서 임계각은 $$ \tan \theta = \frac{D}{H}\quad \Leftrightarrow \quad \theta = \tan^{-1} \frac{D}{H}.$$

사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심의 높이 = $h$)와 양발(간격 = $d$)에 작용하는 수직항력과 차와 같이 움직이게 하는데 필요한 마찰력이 있다. (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다) 사람의 자유물체도는 아래와 같다:

미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동 방정식과 질량중심에 대한 회전 운동 방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 $f_1$, $f_2$, $N_2$는 반시계 방향으로 회전시키려하고 $N_1$은 시계 방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)

$$\sum F_x = f_1 + f_2 = Ma,$$

$$ \sum F_y = N_1 + N_2 - Mg = 0,$$

$$\sum \tau_\text{cm} = (f_1 + f_2 ) h + (N_2 - N_1 ) \frac{d}{2} = 0$$

풀어야 할 미지수는 $f_1$, $f_2$, $N_1$, $N_2$로 4개인데 식이 3개밖에 없어 미지수가 완전히 결정이 안 되는 구조이지만 수직항력만은 구할 수 있다.

$$ N_1 = \frac{Mg}{2} + \frac{Mah}{d}, $$

$$N_2 =\frac{Mg}{2}-\frac{Mah}{d}.$$

넘어지지 않기 위해서는 양발에 걸리는 수직항력이 0 보다 커야 한다. $N_1$은 항상 양수이므로 $N_2 \ge 0$ 조건에서 넘어지지 않을 최대 가속도는 

$$ a_\text{max} = \frac{dg}{2h}.$$

사람의 질량중심이 낮을수록($h$), 두 발을 넓게 벌릴수록($d$) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.

$h=100~\text{cm}, d=50~\text{cm}$ -> $a =2.45~{\rm m^2/s}$: 100 미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도

미끄러지는 경우는 미는 힘(수평 성분)이 정지 마찰력의 최댓값$(f_\text{max})$보다 더 커야 한다.

$$f_\text{max} = \mu_s Mg \quad \rightarrow \quad F \ge \mu_s Mg.$$

미끄러지지 않고 넘어지는 경우는 오른쪽 아래를 회전축으로 넘어지는데, 넘어지기 직전에는 마찰력(수평)과 수직항력(수직)은 오른쪽 끝에 몰린다. 이 회전축을 기준으로 하면 냉장고 무게는 반시계 방향 토크를 만들고, 미는 힘은 시계방향을 토크를 만든다(마찰력과 수직항력은 이 회전축에 대해서는 모멘트 팔=0이어서 토크를 만들지 않는다). 미는 힘에 의한 토크가 중력이 만드는 토크보다 더 크면 넘어지게 된다.

$$ \sum\tau_R =Fd - Mg \frac{W}{2}\ge 0 \quad \rightarrow \quad F \ge \frac {W}{2d} Mg.$$

넘어지기 직전이 아닌 경우는 일반적으로 수직항력(따라서 마찰력)은 바닥 전체 면적에 퍼져서 작용한다. 그렇지만 왼쪽에서 밀면 오른쪽에 더 많이 수직항력이 걸릴 것이다. 이 수직항력이 한 지점에 평균적으로 작용한 것으로 생각할 수 있는데, 그 지점에서 오른쪽 모서리까지 거리를 $x$라면 넘어지기 전에는 $x\gt 0$이 될 것이다. 따라서 넘어지기 전 상황을 고려하면 평형이므로(이 경우엔 수직항력이 토크에 기여한다. 마찰력은 여전히 모멘트 팔=0이어서 기여 없다:어느 지점에 작용하는가를 물어볼 필요가 없다)

$$ \sum \tau_R = Fd -Mg\frac{W}{2} + Nx = 0$$

여기서 넘어지려면 $$x=\frac{ \frac {1}{2} MgW -Fd }{N}\le 0$$

이어서 위와 같은 결론을 얻는다.

(1) 줄을 자른 직전의 줄의 장력은?

- 각 줄은 막대 무게의 절반을 부담한다.

(2) 줄을 자른 직후의 잘리지 않은 줄에 걸리는 장력은?(막대가 여전히 나란한 상태)

- 막대에 작용하는 힘: 장력(윗방향), 중력(아래 방향);

알짜힘이 수직방향으로만 작용하므로

$$ \sum F_y = mg - T = ma_y$$

을 얻고, 질량중심에 대한 회전운동은 장력이 토크에 기여하므로

$$ \sum \tau_\text{cm} = T \frac{L}{2}  = \frac{1}{12} mL^2 \alpha$$

구해야 할 미지수는 $a_y$, $T$, $\alpha$인데, 식은 두 개 밖에 없다. 하나의 제약조건은 막대 왼쪽 끝이 늘어나지 않는 줄에 연결되어 있으므로 이 부분의 줄방향 가속도 성분은 항상 0이 되어야 한다. 줄을 끊은 직후, 왼쪽 끝은 질량중심과 같은 아래 방향과 가속도와 회전에 의한 접선 가속도(위쪽 방향)를 가질 수 있는데 이 두 성분의 합이 0이 되어야 한다. 

$$ a_y = \frac{L}{2} \alpha$$

따라서, 이들 3 식을 연립하면

$$ a_y = \frac{3}{4}g, \quad \alpha = \frac{3}{2}\frac{g}{L},\quad T = \frac{1}{4} mg$$

물론 처음 왼쪽 끝을 기준으로 순간회전한다는 사실을 이용해도 구할 수 있다. 이후 막대는 어떤 방식으로 움직이게 될까?