Geometry & Recognition

• 사람이 줄을 아래로 당기면 그 힘만큼 줄에 장력($T$)이 발생하고 도르래를 통해서 사람이 타고 있는 상자를 위로 당긴다.
• 사람이 당기는 힘의 반작용은 사람(손)에게 작용하여서 위로 당긴다.
• 사람과 상자는 같은 가속도로 올라간다($=a$).

사람에게 작용하는 힘: 

• 줄을 당기는 힘의 반작용=장력($T$):2
• 사람의 무게($Mg$):6
• 상자의 바닥이 떠 받치는 힘=수직항력($N$):4

상자에게 작용하는 힘:

• 줄이 당기는 힘=장력($T$):1
• 상자의 무게($mg$):5
• 사람이 상자를 누르는 힘=수직항력의 반작용($N$):3

사람-상자가 움직이려면 가속도가 $a \ge 0$ 이어야 한다.

즉, 자신의 무게와 타고 있는 상자 무게를 더한 값의 절반에 해당하는 힘으로 아래로 당겨야 한다. 간단하게 생각하면, 사람과 상자를 하나로 취급하면 이 둘을 당기는 힘은 두 줄에 걸리는 장력이 위로 향하고, 사람+상자의 무게는 아래로 향하므로 위로 올라가려면 최소한 위를 향하는 힘이 아래를 향하는 힘보다는 작지 않아야 한다.

같은 무게라도 자신이 당기면 절반의 힘으로 올라갈 수 있지만(a), 다른 사람이 당기면 무게 전체를 들어 올려야 한다(b). 그러나, 에너지의 관점에서 보면 이것은 조삼모사일 뿐이다. 왜 그럴까?

데모 동영상 감상:

youtu.be/5JQ43_-pyzw

고정 도르래의 질량을 무시할 수 있으므로 양쪽 줄의 장력은 같아야 한다: $T$.

따라서 물체와 요요의  질량중심의 운동은 동일해야 한다. $\sum F_y = mg - T=ma~~(\text{내려가는 방향=+})$

즉, 물체와 요요는 동시에 바닥에 닿는다. 물체와 요요가 내려가는 가속도는 얼마인가?

요요의 시계 방향 회전 각가속도가 $\alpha$이면 중심축에 대한 회전 운동 방정식은 $\sum \tau_{cm} = TR = I \alpha$.

물체와 요요의 중심이 내려간 거리의 합은 요요에 감긴 줄이 풀린 길이와 같다: $2y = R\theta$.

이를 두 번 미분하면 $2a = R \alpha$

따라서 $T$, $\alpha$을 소거하면 

$$ a =\frac{g }{1+ 2I /mR^2 }$$

요요에 연결된 줄의 한 지점을 표시하면 이 지점의 가속도는 위쪽으로 왼쪽 물체가 내려가는 가속도 크기를 가진다.