각도의 시간 의존성은?

원판의 둘레에 감긴 실끝에 질량 $m$인 물체가 묶여져 있다. 물체에 충격을 주었더니 그림처럼 $v_0$의 속도로 원둘레에서 벗어난다. 실과 원의 접촉점이 이루는 각은 시간에 따라 증가하는데 어떤 의존성을 가지는가?

1

1. $\sqrt{t}$에 비례

2. $t$에 비례

3. $t^2$에 비례

 

물체에 작용하는 힘은 알짜힘 장력뿐이고 장력은 일을 하지 않으므로 역학적 에너지가 보존된다. 반지름이 $R$일 때 풀린 실의 길이 $\ell = R\theta$이고, 물체는 실과 원의 접촉점을 기준으로 순간회전하므로 에너지는

$$E = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2} m \ell^2 \dot\theta^2 = \frac{1}{2} m R^2 \theta^2 \dot\theta^2=\text{const}=\frac{1}{2}mv_0^2$$

따라서 $\theta\dot\theta =\frac{v_0}{R}$이므로

$$\theta (t) =\sqrt{\frac{2v_0}{R}   t}$$

추의 위치가

$$x(t) = R \sin \theta- R\theta\cos \theta,~~y(t) = R\cos\theta+ R\theta\sin \theta$$ 로 표현되므로 이를 미분해서 $E=\frac{1}{2} m ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2)$을 구할 수도 있다.