막대를 결합하는 힘은?

질량 $m$, 길이 $L$인 막대 4개의 끝을 연결해서 정사각형을 만든 후 중앙을 통과하는 축에 대해 회전을 시킨다. 막대와 막대를 연결하는 지점(꼭짓점)에 작용하는 힘의 크기는?

1. $mL \omega^2 /2$

2. $mL \omega^2 /\sqrt{2}$

3. $mL \omega^2$

4. $\sqrt{2}mL \omega^2$

5. $2 mL \omega^2$

 

* https://kipl.tistory.com/447의 풀이:

수직과 이루는 각이 $\theta$일 때 질량중심이 반지름 $r=L/2$인 원 위에 있음을 고려하면($x=r\sin \theta, y=r\cos \theta$)하면 막대의 운동에너지는 질량중심의 원운동과 질량중심에 대한 회전운동이 기여하므로

$$K= \frac{1}{2} m (r \dot \theta)^2 + \frac{1}{2} \frac{mr^2}{3} (\dot \theta)^2 = \frac{1}{2} m (r\dot{\theta})^2  (1+ \eta),~~~~\eta = \frac{1}{3}$$

이다. $\theta$일 때 위치에너지의 감소가 $\Delta U = mgr (1-\cos \theta)$이므로,

$$\frac{1}{2}m (r  \dot{\theta})^2 (1+\eta) = mg r (1-\cos \theta)$$

따라서 질량중심의 속력은

$$v= r\dot{\theta} = \sqrt{ \frac{2gr}{1+\eta}} \sqrt{1-\cos \theta}=\sqrt{\frac{3gr}{2}}\sqrt{1-\cos\theta}$$

막대가 벽에서 떨어지면 수평방향의 외력이 사라지므로 수평 속도 성분은 일정해지고 또 최댓값을 갖는다.

$$N_w=0 ~~\Leftrightarrow ~~v_x =v\cos \theta =\text{max}$$

$dv_x /d \theta = 0$에서 벽에서 분리되는 각도는

$$\cos \theta = \frac{2}{3}~~~\text{or}~~\theta \approx 48.2^\circ$$

로 주어짐을 알 수 있다. 그리고 그때 수평속도는

$$\text{max}(v_x) = \frac{\sqrt{2gr}}{3} = \frac{\sqrt{gL}}{3}$$

으로 주어진다.