충돌 직후 질량중심의 속도는?

가벼운 막대로 연결된 두 물체가 그림처럼 $v_0$ 속력으로 바닥에 탄성충돌을 한다($\theta = 30^\circ$). 충돌 직후 질량중심의 속도는?

1. $\frac{1}{7}v_0$

2. $\frac{2}{7}v_0$

3. $\frac{3}{7}v_0$

4. $\frac{4}{7}v_0$

 

오른쪽 물체는 언제 바닥에 충돌하는가?

 

풀이: 

충돌하는 왼쪽 물체를 기준으로 잰 각운동량은(충돌 시 왼쪽 물체가 바닥에서 받은 impulsive force에 의한 토크 기여가 없는 지점) 충돌 직전/직후 보존된다(중력은 non-impulsive이므로 충돌 직전-직후의 각운동량에 영향을 주지 못한다). 충돌 직후 질량중심의 위쪽 방향 속도를 $v$, 질량중심에 대한 시계방향 회전 각속도를 $\omega$라 하면,

$$ L_i = L_f:~~(2m) v_0 \frac{L}{2} \cos \theta = (2m)(-v)\frac{L}{2} \cos \theta + \frac{mL^2}{2} \omega$$

탄성충돌이므로 충돌 직전과 충돌 직후(cm 이동 + 회전) 바닥에 대한 상대속도의 크기는 같아야 한다:

$$v_0 = \text{cm-vel} + \text{rot about cm} = v + \frac{\omega L}{2} \cos \theta $$

둘을 정리하면, 

$$ v=v_0 \frac{\sin^2\theta}{1+\cos^2 \theta}$$

$$\omega = \frac{4v_0}{L} \frac{\cos \theta}{1+\cos^2 \theta}$$