충돌 직후 질량중심의 속도는?

가벼운 막대로 연결된 두 물체가 그림처럼 $v_0$ 속력으로 바닥에 탄성충돌을 한다($\theta ={30}^{\circ }$). 충돌 직후 질량중심의 속도는?

1. $\frac{1}{7}{v}_0$

2. $\frac{2}{7}{v}_0$

3. $\frac{3}{7}{v}_0$

4. $\frac{4}{7}{v}_0$

 

오른쪽 물체는 언제 바닥에 충돌하는가?

 

충돌하는 왼쪽 물체를 기준으로 잰 각운동량은(충돌 시 왼쪽 물체가 바닥에서 받은 impulsive force에 의한 토크 기여가 없는 지점) 충돌 직전/직후 보존된다(중력은 non-impulsive이므로 충돌 직전-직후의 각운동량에 영향을 주지 못한다). 충돌 직후 질량중심의 위쪽 방향 속도를 $v$, 시계방향 회전 각속도를 $\omega$라 하면,

$$L_i=L_f:(2m)v_0\frac{L}{2}\cos \theta =(2m)(-v)\frac{L}{2}\cos \theta +\frac{m{L}^2}{2}\omega$$

탄성충돌이므로 충돌 직전과 충돌 직후(cm 이동 + 회전) 왼쪽 물체의 바닥에 대한 상대속도의 크기는 같아야 한다:

$$v_0=\text{cm-vel}+\text{rot about cm}=v+\frac{\omega L}{2}\cos \theta$$

둘을 정리하면, 

$$v=v_0\frac{{\sin }^2\theta }{1+{\cos }^2\theta }$$

$$\omega =\frac{4v_0}{L}\frac{\cos \theta }{1+{\cos }^2\theta }$$