Geometry & Recognition

물체의 움직이는 경로의 길이가 $s=s(x,y)$면,  바닥까지 내려오는 데 걸리는 시간은 

$$T=\int \frac{ds}{v}$$

로 주어진다. 

1. 직선 경로의 경우에는 속도를 $y=H-x$ 좌표로 쉽게 표현할 수 있고, 속력은 역학적 에너지 보존법칙을 쓰면

$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\sqrt{1+(dx/dy{)}^2}=-\sqrt{2}dy,(\because dy<0)$$

$$\frac{1}{2}m{v}^2=mg(H-y)\to v=\sqrt{2g(H-y)}$$

따라서, 바닥까지 내려오는 데 걸리는 시간은

$$\therefore T={\int }_H^0\frac{-\sqrt{2}dy}{\sqrt{2g(H-y)}}=2\sqrt{\frac{H}{g}}.$$

2. 4 분원 경로는 각도(수평에서 시계방향)를 써서 표현하면, 

$$x=H(1-\cos \theta ),y=H(1-\sin \theta )$$

$$ds=Hd\theta ,v=\sqrt{2gH\sin \theta }$$

이므로

$$T={\int }_0^{\pi /2}\sqrt{\frac{H}{g}}\frac{d\theta }{\sqrt{2\sin \theta }}=\sqrt{\frac{H}{g}}\text{Elliptic}(1/2)=1.85407\sqrt{\frac{H}{g}}.$$

최단시간 경로를 찾는 문제는 운동시간 $T$의 변분문제로 환원할 수 있다. 우선 최단시간 경로를 $y=y(x)$로 보면 ($H-y\to y$: 내려가는 방향을 $+y$로) Lagrangian 이

$$L=\sqrt{\frac{1+(dy/dx{)}^2}{y}}$$

일 때 운동방정식의 해를 구하는 문제로 바뀐다. 이 Lagrangian은 $x$에 의존하지 않으므로 Hamiltonian이 일정한 (즉, 에너지가 보존됨) 값을 갖는다.

$$\mathcal{H}=\frac{dy}{dx}\frac{dy/dx}{\sqrt{y(1+(dy/dx{)}^2)}}-\sqrt{\frac{1+(dy/dx{)}^2}{y}}=-\frac{1}{k}=\text{const}.$$

식을 정리하면,

$$y[1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2]=k^2\to \frac{dy}{dx}=\pm \sqrt{\frac{k^2-y}{y}}$$

을 만족하는 $y(x)$을 구해야 한다. 이 식을 만족하는 곡선이 cycloid이고 $\theta$를 매개변수로 표현하면($r=\frac{1}{2}{k}^2$),

$$x=r(\theta -\sin \theta ),y=r(1-\cos \theta )$$

이다. 이 경로는 $\theta =0$일 때 $(0,0)$을 지난다. 그림에 맞게 $(0,H)$를 지나고, 감소함수이려면  $y\to H-y$로 바꾸어야 한다. 경로가 다른 끝점 $(H,0)$을 지나게 하려면 $r$과 그 점을 통과할 때 ${\theta }_0$ 값을 정해주면 된다. 

$$x=r(\theta -\sin \theta ),y=H-r(1-\cos \theta )$$ 

이 식에서 $\theta$을 소거하면

$$H-y+r\cos \frac{x+\sqrt{(H-y)(2r-(H-y))}}{r}=r$$을 얻고, 바닥의 $(H,0)$을 통과하려면 $r$은 

$$H+r\cos \frac{H+\sqrt{H(2r-H)}}{r}=r$$에서 찾을 수 있다. $H=1$일 때 mathematica을 이용해서 구하면

그리고 $(H,0)$에 해당하는 $\theta$는 $$\theta ={\cos }^{-1}\frac{r-H}{r}$$에서 ${\theta }_0=2.41201$을 구할 수 있다.

그럼 $(0,H)$에서 $(H,0)$으로 내려가는 데 걸리는 시간은? 

$$ds=2r\sin \frac{\theta }{2}d\theta \text{and}\sqrt{2(H-y)}=2\sqrt{r}\sin \frac{\theta }{2}$$

이므로

$$T=\int \frac{ds}{\sqrt{2g(H-y)}}=\sqrt{\frac{r}{g}}{\int }_0^{{\theta }_0}d\theta =\sqrt{\frac{H}{g}}\sqrt{\frac{r}{H}}{\theta }_0=1.82568\sqrt{\frac{H}{g}}$$