한승연의 사진 속 나이는?

상황: 지구에서 구하라와 한승연이 서로 반대방향으로  0.6c의 일정한 속력으로 출발하는 은하철도 999에 각각 탔다(처음 가속은 무시한다. 시계는 출발할 때 동일하게 맞춘다). 지구시계로 출발 후 1년이 지났을 때 구하라가 한승연에게 빛을 이용해서 사진을 찍으라고 신호를 보낸다. 한승연이 빛신호를 받는 즉시 사진을 찍어서 구하라에게 보냈을 때 사진 속의 한승연은 지구에서 출발할 때보다 얼마나 더 나이 들어 보일까?

구하라 관점: 지구에서 출발할 때 구하라, 한승연, 지구 시계를 0으로 설정하자. 구하라나 한승연은 지구에 대해서 상대속력 $v=0.6c(\to {\gamma }_v=5/4)$로 멀어지므로 지구시계로 1년이 지난 시점에 시간지연 효과에 의해서 $1yr/{\gamma }_v=0.8yr$ 만큼 나이를 먹게 된다. 그리고 구하라가 볼 때 한승연은 (속도변환공식에 의해) $u=15c/17$의 속도로 멀어진다. 구하라가 자신의 시계로 출발 후 $0.8yr$ 시점에 한승연에게 보낸 빛이 도달하는 시간을 $t_1$이라고 하면  (발사한 빛이 움직인 거리)=(한승연이 처음부터 움직인 거리)이어야 하므로 

$$(t_1-0.8yr)\times c=t_1\times (15c/17)\to t_1=6.8yr$$

구하라가 보기에 자신의 시계가(구하라의 고유시간) 6.8년을 가리킬 때 상대적으로 $u=15c/17(\to {\gamma }_u=17/8)$의 속도로 움직이는 한승연의 시계는(지구 출발-빛 도착은 한승연 관성계에서 같은 위치에서 일어나므로 한승연의 고유시간) 시간지연때문에

$$t_1^{\prime }=t_1/{\gamma }_u=(6.8yr)/(17/8)=3.2yr$$

이 흐른다. 따라서 사진 속에 찍힌 한승연의 나이는 출발 전보다 3.2년 더 들어 보일 것이다.

지구 관점: 지구에서 볼 때 구하라(왼쪽)가 발사한 빛의 경로가 $x=-0.6+c(t-1)$이고, 한승연(오른쪽)의 위치는 $x=(0.6c)\times t$ 이므로 두 경로가 만나는 시간은 $t_2=4yr$다. 따라서 빛을 받을 때 한승연의 시계는 시간지연에 의해(한승연에게는 지구 출발-빛 도착이 같은 지점에서 일어남)

$$t_2^{\prime }=t_2/{\gamma }_v=3.2yr$$

한승연 관점: 구하라가 자신의 시계로 출발 후 $0.8yr$이 지난 시점에 빛을 보내는데(지구에서 볼 때 구하라나 한승연 모두 0.8년 시간이 흘렀지만, 한승연이 볼 때 구하라의 0.8년은 자신의 시계와 같지 않다) 한승연이 볼 때 구하라는 $15c/17$로 멀어지므로 시간지연에 의해서 구하라가 빛을 발사하는 시점에(구하라에게는 지구 출발-빛 발사는 같은 지점에서 일어남) 한승연의 시계는 

$$t_{\text{한}}={\gamma }_u{t}_{\text{구}}=\frac{17}{8}\times (0.8yr)=1.7yr$$

이때 구하라의 위치는 한승연으로부터 $(15c/17)\times (1.7yr)=1.5ly$ 떨어져 있으므로 발사된 빛이 한승연에게 도달할 때 한승연은 시계는$$1.7yr+1.5yr=3.2yr$$

관성계		출발(동기화된 시계)	구하라 빛 발사	한승연에게 빛 도착
구하라 관점	구하라 시계	0	0.8	6.8
	지구 시계	0	0.64	5.44
	한승연 시계	0	0.3765	3.2
지구 관점	구하라 시계	0	0.8	3.2
	지구 시계	0	1	4
	한승연 시계	0	0.8	3.2
한승연 관점	구하라 시계	0	0.8	1.506
	지구 시계	0	1.36	2.56
	한승연 시계	0	1.7	3.2

 

* 구하라가 0.8년 일 때 빛 발사는 같은 위치에서 동시에 일어난 두 사건이므로 어느 관성계에서도 동시다.

* 한승연이 3.2년 일 때 빛을 받는 것은 같은 위치에서 동시에 일어난 두 사건이므로 어느 관성계에서도 동시다.