체인이 떨어지는 가속도는?

포개져 있는 체인이 한쪽 끝을 책상 아래로 향하게 하면 체인은 점차 풀리면서 내려가는 운동을 한다. 이 운동의 가속도는 얼마일까? 단, 체인은 부드럽게 풀린다고 생각하면 된다.

1. 등가속도이고 $g$보다 크다

2. $g$와 같다

3. 등가속도이고 $g$보다 작다.

 

일단 체인(선밀도$=\lambda$)이 떨어지면 공중에 떠있는 부분은 같은 속력으로 움직인다.  책상 위에서 떨어지기 시작한 체인은 속도가 0인 상태에서 유한한 값으로 변하므로 impulsive force가 필요하고 체인의 장력이 이 역할을 한다. 체인이 내려가는 속력이 $v$일 때 책상 위의 미소 길이 $dx$가 움직임을 시작하는 경우 운동량의 변화량은 $dp= dm (v - 0) = \lambda dx v$이므로 필요한 충격량은 $f = dp/dt = \lambda v^2$이다. 떨어지는 체인 부분에 같은 크기의 반작용이 작용한다.

 떨어지는 부분의 길이 $x$일 때 작용하는 힘은 중력($(\lambda x)g$)와 impulsive force의 반작용(장력: 위쪽 방향)이므로 뉴턴의 운동방정식은(관심 대상은 추가된 미소질량을 포함한 부분이 아닌 이미 떨어지고 있는 부분이다. 왜냐면 이 부분에 작용하는 외력 $f$의 정보를 알기 때문임) $$\begin{gather} ma=\sum F \\ \rightarrow\quad  (\lambda x) \frac{dv}{dt} = (\lambda x) g - f = \lambda x g - \lambda v^2 \\ \rightarrow\quad x \frac{dv}{dt} = xg - v^2.\end{gather}$$ 시간 대신 떨어진 길이를 독립변수로 사용하면 $dv/dt = v dv/dx = \frac{1}{2} dv^2/dx$

$$\frac{dv^2 }{dx} + \frac{2}{x} v^2 = 2g$$

을 얻을 수 있다. $v^2$에 대한 선형 미분방정식이므로 답은 쉽게 찾을 수 있다:

$$v= \sqrt{\frac{2g}{3}x}.$$

따라서 가속도는

$$a= \frac{dv}{dt} = \sqrt{ \frac{2g}{3}} \frac{v}{2\sqrt{x}} = \frac{g}{3},$$  

이어서 등가속도 운동임을 알 수 있다.

그런데, 역학적 에너지를 구하면

$$E= \frac{1}{2} \lambda x v^2 - \lambda x g \frac{x}{2}=-\frac{1}{6}\lambda g x^2=-\frac{mgL}{6}\left( \frac{x}{L}\right)^2,$$

이므로 체인이 내려감에 따라 에너지 손실이 발생함을 볼 수 있다. 어디로 간 것일까요? 이는 impulsive force가 작용한 효과로 이해할 수 있다.

[두번째 풀이]: 새로이 추가되는 $dm$까지를 계로 선택하며($dm$이 책상 위의 나머지 부분에 주는 힘은 없다) 계가 받는 수직 방향 알짜외력은 떨어지는 부분의 무게뿐이다. 따라서 계의 운동방정식은 (계의 질량은 계속 추가되므로 가변이다)

$$\frac{dp}{dt} = mg , \quad p = mv = \lambda x v \\ \Longrightarrow ~~\frac{d}{dt}( \lambda x v) = \lambda x g \\   \Longrightarrow ~~x \frac{dv}{dt} + v^2 = x g$$ 이어서 같은 결과를 얻는다. 물론 추가되는 $dm$은 책상 위 정지한 뭉터기에서 수평으로 이동해서 구멍 위에 놓이기 위해서는 수평힘이 있어야 하므로 실제는 구멍근처에서 체인이 둥글게 휘어지면서 떨어져야 하고 이 경우 장력의 일부가 추가적으로 외력으로 들어올 수 있다. 이 문제에서는 직각으로 꺽인다는 가정을 사용한 것이다.