Best-fit Ellipse 2

표준형 타원

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

의 두 주축에 대한 central moment (moment of inertia)는 각각

$${\mu }_{20}=\frac{\pi }{4}{a}^{3}b,{\mu }_{02}=\frac{\pi }{4}a{b}^3$$

으로 주어짐은 쉽게 계산할 수 있다. 그런데 타원의 면적인 0차 central moment가 ${\mu }_{00}=\pi ab$이므로 normalized central moment (위치의 분산을 의미한다)는 각각

$${\tilde{\mu }}_{20}=\frac{{\mu }_{20}}{{\mu }_{00}}=\frac{1}{4}{a}^2,{\tilde{\mu }}_{02}=\frac{{\mu }_{02}}{{\mu }_{00}}=\frac{1}{4}{b}^2$$

따라서 장축과 단축의 반지름은 주축에 대한 2차 normalized central moment을 구하면 얻을 수 있다.

기울어진 타원의 경우는 ${\tilde{\mu }}_{pq}$가 픽셀의 분포를 알려주므로 이를 이용한 covariance 행렬의 고유값을 구하면 장축과 단축의 반지름을 알 수 있고, 기울어진 정도도 알 수 있다. 공변행렬

$$\mathrm{\Sigma }=\left(\begin{array}{cc}{\tilde{\mu }}_{20}& {\tilde{\mu }}_{11}\\ {\tilde{\mu }}_{11}& {\tilde{\mu }}_{02}\end{array}\right)$$

의 두 고윳값은

$${\lambda }_1=\frac{1}{2}({\tilde{\mu }}_{20}+{\tilde{\mu }}_{02}+\sqrt{({\tilde{\mu }}_{20}-{\tilde{\mu }}_{02}{)}^2+4{\tilde{\mu }}_{11}^2}),$$

$${\lambda }_2=\frac{1}{2}({\tilde{\mu }}_{20}+{\tilde{\mu }}_{02}-\sqrt{({\tilde{\mu }}_{20}-{\tilde{\mu }}_{02}{)}^2+4{\tilde{\mu }}_{11}^2}).$$

따라서 기울어진 타원의 장축과 단축의 반지름, 그리고 회전각은

$$a=2\sqrt{{\lambda }_1},b=2\sqrt{{\lambda }_2},\tan (2\theta )=\frac{2{\tilde{\mu }}_{11}}{{\tilde{\mu }}_{20}-{\tilde{\mu }}_{02}}$$

로 주어지므로 회전된 좌표계 $(u,v)$에서 타원의 방정식은

$$\frac{u^2}{4{\lambda }_1}+\frac{v^2}{4{\lambda }_2}=1$$

로 쓰인다. 

다시 원 좌표계 $(x,y)$로 돌아가기 위해서 (물론 질량중심이 원점인 좌표계이다)

$$u=\cos \theta x+\sin \theta y,v=-\sin \theta x+\cos \theta y$$

를 대입하면 타원을 2차식 형태

$$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2=1$$

로 쓸 수 있는데, 그 계수는

$$A=\frac{1}{8}(\frac{1}{{\lambda }_1}+\frac{1}{{\lambda }_2}+(\frac{1}{{\lambda }_1}-\frac{1}{{\lambda }_2})\cos (2\theta ))=\frac{{\tilde{\mu }}_{02}}{4({\tilde{\mu }}_{20}{\tilde{\mu }}_{02}-{\tilde{\mu }}_{11}^2)}$$

$$C=\frac{1}{8}(\frac{1}{{\lambda }_1}+\frac{1}{{\lambda }_2}-(\frac{1}{{\lambda }_1}-\frac{1}{{\lambda }_2})\cos (2\theta ))=\frac{{\tilde{\mu }}_{20}}{4({\tilde{\mu }}_{20}{\tilde{\mu }}_{02}-{\tilde{\mu }}_{11}^2)}$$

$$B=\frac{1}{8}(\frac{1}{{\lambda }_1}-\frac{1}{{\lambda }_2})\sin (2\theta )=\frac{-{\tilde{\mu }}_{11}}{4({\tilde{\mu }}_{20}{\tilde{\mu }}_{02}-{\tilde{\mu }}_{11}^2)}$$

로 주어진다. 주어진 object의 normalized central moment를 구하면 타원 fitting에 대한 정보를 구할 수 있음을 보였다.