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공기 저항이 있을 때 포물체 운동의 Animation

Physics/역학 2022. 9. 18. 09:12

공기 저항이 속력에 비례하는 경우는 물체의 궤적은 closed form이 있다. 그러나 저항력이 속력의 제곱에 비례하게 주어지는 경우는 수치적으로 해결해야 한다. 움직이는 방향의 단면적이 $A=14πD2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mi>π</mi><msup><mi>D</mi><mn>2</mn></msup></math>$ 인 물체가 밀도가 $ρ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ρ</mi></math>$ 인 공기 속에서 $\to v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow></math>$ 의 속도로 움직일 때 저항력은

$→FD=14ρAv→v=116πρD2v→v=cv→v<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>F</mi><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow></mrow><mi>D</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mi>ρ</mi><mi>A</mi><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>16</mn></mfrac><mi>π</mi><mi>ρ</mi><msup><mi>D</mi><mn>2</mn></msup><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mi>c</mi><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">→</mo></mover></mrow></math>$

로 표현할 수 있다. 따라서 물체의 운동방정식은

$m ¨ \to r = m \to g - c v \to v, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mo>¨</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>g</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mo>-</mo><mi>c</mi><mi>v</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>v</mi><mo stretchy="false">\to</mo></mover></mrow><mo>,</mo></math>$

또는 성분으로 쓰면

$m ¨ x = - c \sqrt ˙ x 2 + ˙ y 2 ˙ x, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>¨</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><msqrt><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>˙</mo></mover></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>y</mi><mo>˙</mo></mover></mrow><mn>2</mn></msup></msqrt><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>˙</mo></mover></mrow><mo>,</mo></math>$

$m ¨ y = - m g - c \sqrt ˙ x 2 + ˙ y 2 ˙ y <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>y</mi><mo>¨</mo></mover></mrow><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>m</mi><mi>g</mi><mo>-</mo><mi>c</mi><msqrt><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>x</mi><mo>˙</mo></mover></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>y</mi><mo>˙</mo></mover></mrow><mn>2</mn></msup></msqrt><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>y</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></math>$

로 주어진다. 아래의 mathematica 코드는 구체적인 수치(SI-단위 기준, 발사각 $θ 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>θ</mi><mn>0</mn></msub></math>$ , 발사속력 $v 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$ )를 대입해서 공기저항이 있을 때와 없을 때 물체의 궤적을 보여준다.

공기 저항이 있을 때 (2)

공기 저항이 없을 때 물체를 $v 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 속력으로 위로 던지면 최고점에 올라가는데 걸리는 시간과 다시 내려오는데 걸리는 시간은 동일하게 $t f f = v 0 / g <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>t</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>f</mi><mi>f</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi>g</mi></math>$ 로 주어진다. 공기 저항이 있는 경우는 어떻

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