'역학적 에너지 보존' 태그의 글 목록

턱을 오르는 공?

Physics/역학 2021. 5. 23. 21:41

볼링공(반지름: $R <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>R</mi></math>$ , 회전관성: $25mR2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>2</mn><mn>5</mn></mfrac><mi>m</mi><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup></math>$ )이 굴러가다가 턱에 부딪치는 경우를 보자. 충돌이 비탄성적이라면 공은 턱(높이: $h <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math>$ )을 기준으로 회전해서 턱 위로 올라갈 수 있다. 물론 부딪치기 직전 속도가 너무 작으면 오를 수 없고, 너무 크면 위로 튄다. 어떤 조건일 때 튀지 않고 턱 위로 올라갈 수 있을까?

1. 충돌 전후로 턱에 대한 각운동량이 보존되므로 충돌 직후 각속도 $ω <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ω</mi></math>$ 는 충돌 전 속도( $v 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub></math>$ )를 알면 구할 수 있다.

$I(v0R)+mv0(R−h)=(I+mR2)ω<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>I</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mi>R</mi></mfrac><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>+</mo><mi>m</mi><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>h</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>I</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo><mi>ω</mi></math>$

$→ ω=(1−5h7R)v0R<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>ω</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>7</mn><mi>R</mi></mrow></mfrac><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mfrac><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mi>R</mi></mfrac></math>$

2. 역학적 에너지 보존을 이용하면 공이 턱에 완전히 올라서기 위해서는 충돌 직후 각속도 $ω <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>ω</mi></math>$ 가 일정한 크기 이상이어야 한다:

$12(I+mR2)ω2≥mgh<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mi>I</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo><msup><mi>ω</mi><mn>2</mn></msup><mo>≥</mo><mi>m</mi><mi>g</mi><mi>h</mi></math>$

$→ Rω≥√107gh<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>R</mi><mi>ω</mi><mo>≥</mo><msqrt><mfrac><mn>10</mn><mn>7</mn></mfrac><mi>g</mi><mi>h</mi></msqrt></math>$

$or v0≥11−5h/7R√107gh<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtext>or</mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><msub><mi>v</mi><mn>0</mn></msub><mo>≥</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>5</mn><mi>h</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mn>7</mn><mi>R</mi></mrow></mfrac><msqrt><mfrac><mn>10</mn><mn>7</mn></mfrac><mi>g</mi><mi>h</mi></msqrt></math>$

저작자표시 비영리 변경금지

'Physics > 역학' 카테고리의 다른 글

실린더가 움직이는 방향은? (0)	2022.01.06
얼마나 기울여야 하는가? (0)	2021.05.23
새는 비행기를 순간적으로 정지시켰는가? (0)	2021.02.04
공기 저항이 있을 때 (2) (0)	2021.01.29
움직일 수 있는 경사면을 내려왔을 때 속력은? (0)	2021.01.22

얼마의 속도로 당겨야

Physics/역학 2020. 12. 19. 16:57

위쪽 물체를 일정한 속도로 위로 당기다 보면 용수철로 연결된 아래쪽 물체가 어느 순간 바닥에서 떨어진다. 그런데 너무 빠르게 당기면 아래쪽 물체가 나중에 위쪽 물체와 부딪칠 수 있다. 당기는 속도가 얼마일 때 이런 현상이 가능한가? 압축된 용수철의 길이는 $L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math>$ 이고, 용수철은 완전히 압축될 수 있다고 가정한다.(고무줄로 생각하면 된다)

힌트: 위쪽 물체와 같이 일정하게 위로 움직이는 관찰자 입장에서 생각하는 것이 쉽다.

처음 용수철은 원래 길이( $L 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>L</mi><mn>0</mn></msub></math>$ )보다 $m g / k = d 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>m</mi><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 만큼 압축이 된 상태( $L = L 0 - d 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mn>0</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></math>$ )이다. 바닥의 물체가 뜨기 위해서는 용수철이 원래길이보다 $d 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></math>$ 만큼 더 늘어나야 한다. 위로 $v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi></math>$ 로 움직이는 관찰자가 보면 바닥에서 떨어지기 직전 역학적 에너지는(위쪽 물체를 중력 위치에너지 기준점으로 삼음)

$Ei=12mv2+12kd20−mg(L+2d0)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>E</mi><mi>i</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>m</mi><msup><mi>v</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>k</mi><msubsup><mi>d</mi><mn>0</mn><mn>2</mn></msubsup><mo>−</mo><mi>m</mi><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">)</mo></math>$

충돌 직전 역학적 에너지는 용수철의 길이가 0이 되게 압축이 되었으므로

$Ef=12k(L+d0)2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>E</mi><mi>f</mi></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub><msup><mo stretchy="false">)</mo><mn>2</mn></msup></math>$

이다. 정리하면

$v2=km(L+2mgk)2≥km(2√2Lmgk)2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msup><mi>v</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mi>k</mi><mi>m</mi></mfrac><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>L</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>m</mi><mi>g</mi></mrow><mi>k</mi></mfrac><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>≥</mo><mfrac><mi>k</mi><mi>m</mi></mfrac><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>2</mn><msqrt><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>L</mi><mi>m</mi><mi>g</mi></mrow><mi>k</mi></mfrac></msqrt><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></math>$

$∴ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mo>∴</mo><mtext> </mtext><mi>v</mi><mo>\geq</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>2</mn><mi>g</mi><mi>L</mi></msqrt></math>$

저작자표시 비영리 변경금지

'Physics > 역학' 카테고리의 다른 글

얼마나 누르면 아래 물체가 바닥에서 떨어질 수 있는가? (0)	2020.12.21
줄이 팽팽해질 때 물체의 속력은? (0)	2020.12.20
더 높이 올라가는 물체는? (0)	2020.11.24
컨베이어 벨트의 모터가 한 일은? (1)	2020.11.22
추의 속력은? (1)	2020.11.20

이전 1 다음

내 블로그 - 관리자 홈 전환	`Q` `Q`
새 글 쓰기	`W` `W`

글 수정 (권한 있는 경우)	`E` `E`
댓글 영역으로 이동	`C` `C`

이 페이지의 URL 복사	`S` `S`
맨 위로 이동	`T` `T`
티스토리 홈 이동	`H` `H`
단축키 안내	`Shift` + `/` `⇧` + `/`

Geometry & Recognition

턱을 오르는 공?

'Physics > 역학' 카테고리의 다른 글

얼마의 속도로 당겨야

'Physics > 역학' 카테고리의 다른 글

카테고리

태그목록

최근에 올라온 글

최근에 달린 댓글

글 보관함

티스토리툴바

개인정보

단축키

내 블로그

블로그 게시글

모든 영역