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Convexity of Bezier Curve

Computational Geometry 2021. 4. 22. 16:06

Bezier 곡선은 control points ${P i} {P_{i}} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo fence="false" stretchy="false">{</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">P</mi></mrow><mi>i</mi></msub><mo fence="false" stretchy="false">}</mo></math>$ 의 선형 결합으로 주어진다:

$B (t) = n \sum i = 0 B i, n (t) P i, B i, n (t) = (n i) t i (1 - t) n - i . <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">B</mi></mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munderover><mo data-mjx-texclass="OP">\sum</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">P</mi></mrow><mi>i</mi></msub><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>n</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><msup><mi>t</mi><mi>i</mi></msup><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>$

Bernstein 다항식 $B i, n (t) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 이 control points 선형 결합의 가중치를 역할을 하는데 0과 1 사이의 양의 실수 값을 가진다. 그리고 이들 가중치의 합은 1이다:

$0 \leq B i, n (t) \leq 1, i = 0, 1, 2, . . . n, 0 \leq t \leq 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mn>0</mn><mo>\leq</mo><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>\leq</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mn>0</mn><mo>\leq</mo><mi>t</mi><mo>\leq</mo><mn>1</mn></math>$

$n \sum i = 0 B i, n (t) = 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><munderover><mo data-mjx-texclass="OP">\sum</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></math>$

이는 Bezier 곡선이 control points가 만드는 convex region 내부에 있음을 의미한다. Bezier 곡선의 convexity 성질은 여러 좋은 특성을 준다. 몇 가지만 나열하면, 첫째가 Bezier 곡선은 항상 컨트롤 포인트의 convex hull 내에 놓이게 되므로 곡선의 제어 가능성을 보장한다. 둘째는 교차 여부를 쉽게 확인할 수 있다. 또한 culling을 가능하게 한다.

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