'Bernstein polynomial' 태그의 글 목록

Convexity of Bezier Curve

Computational Geometry 2021. 4. 22. 16:06

Bezier 곡선은 control points ${P i} <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo fence="false" stretchy="false">{</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">P</mi></mrow><mi>i</mi></msub><mo fence="false" stretchy="false">}</mo></math>$ 의 선형 결합으로 주어진다:

$B (t) = n \sum i = 0 B i, n (t) P i, B i, n (t) = (n i) t i (1 - t) n - i . <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">B</mi></mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munderover><mo data-mjx-texclass="OP">\sum</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="bold">P</mi></mrow><mi>i</mi></msub><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>n</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>i</mi></mtd></mtr></mtable><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><msup><mi>t</mi><mi>i</mi></msup><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>t</mi><msup><mo stretchy="false">)</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>i</mi></mrow></msup><mo>.</mo></math>$

Bernstein 다항식 $B i, n (t) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 이 control points 선형 결합의 가중치를 역할을 하는데 0과 1 사이의 양의 실수 값을 가진다. 그리고 이들 가중치의 합은 1이다:

$0 \leq B i, n (t) \leq 1, i = 0, 1, 2, . . . n, 0 \leq t \leq 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mn>0</mn><mo>\leq</mo><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>\leq</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mstyle scriptlevel="0"><mspace width="1em"></mspace></mstyle><mn>0</mn><mo>\leq</mo><mi>t</mi><mo>\leq</mo><mn>1</mn></math>$

$n \sum i = 0 B i, n (t) = 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><munderover><mo data-mjx-texclass="OP">\sum</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munderover><msub><mi>B</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>1</mn></math>$

이는 Bezier 곡선이 control points가 만드는 convex region 내부에 있음을 의미한다. Bezier 곡선의 convexity 성질은 여러 좋은 특성을 준다. 몇 가지만 나열하면, 첫째가 Bezier 곡선은 항상 컨트롤 포인트의 convex hull 내에 놓이게 되므로 곡선의 제어 가능성을 보장한다. 둘째는 교차 여부를 쉽게 확인할 수 있다. 또한 culling을 가능하게 한다.

저작자표시 비영리 변경금지

'Computational Geometry' 카테고리의 다른 글

Bezier Smoothing (0)	2021.04.23
Flatness of Cubic Bezier Curve (0)	2021.04.23
De Casteljau's Algorithm (0)	2021.04.22
Arc Length of Bezier Curves (0)	2021.04.21
Bezier Curve Approximation of an Ellipse (0)	2021.04.11