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공기 저항이 속력에 비례하는 경우는 물체의 궤적은 closed form이 있다. 그러나 저항력이 속력의 제곱에 비례하게 주어지는 경우는 수치적으로 해결해야 한다. 움직이는 방향의 단면적이 A=14πD2인 물체가 밀도가 ρ인 공기 속에서 v의 속도로 움직일 때 저항력은 

FD=14ρAvv=116πρD2vv=cvv

로 표현할 수 있다. 따라서 물체의 운동방정식은

m¨r=mgcvv,

또는 성분으로 쓰면

m¨x=c˙x2+˙y2˙x,

m¨y=mgc˙x2+˙y2˙y

로 주어진다. 아래의 mathematica 코드는 구체적인 수치(SI-단위 기준, 발사각 θ0, 발사속력 v0)를 대입해서 공기저항이 있을 때와 없을 때 물체의 궤적을 보여준다.

공기 저항이 있을 때 (2)

 

공기 저항이 있을 때 (2)

공기 저항이 없을 때 물체를 v0 속력으로 위로 던지면 최고점에 올라가는데 걸리는 시간과 다시 내려오는데 걸리는 시간은 동일하게 tff=v0/g로 주어진다. 공기 저항이 있는 경우는 어떻

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Parabola of Safety

Physics/역학 2022. 9. 16. 14:11

safetyparabola.nb
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한 지점에서 일정한 속력으로 마구 쏘아대는 대공포가 있을 때 포탄이 도달할 수 없는 영역은 어떻게 찾을 수 있을까? 유한한 발사속력 때문에 도달할 수 있는 영역에는 분명히 한계가 있다.

 

공기 저항을 무시할 때 포탄이 그리는 궤적은 포물선이 된다. 따라서 포탄에 맞지 않으려면 포탄이 그리는 가능한 모든 포물선에 접하는 곡선 밖에 있어야 할 것이다. 발사 각도가 θ일 때, v0 속력으로 발사한 포탄이 그리는 포물선은

y=tanθx14Hcos2θx2.

로 표시된다. 여기서 H=v20/2g는 포탄이 도달할 수 있는 최고 높이다. 

 

발사 평면의 한 점 (x0,y0)에 포탄이 도달하기 위해서는 

y0=tanθx0+14Hcos2θx20

을 만족시키는 발사각 θ가 있어야 한다. 1/cos2θ=1+tan2θ이므로 위 식은 tanθ에 대한 이차식이므로 일반적으로 발사각이 2개가 있다. 만약 (x0,y0)가 포탄에 맞는 경계영역에 있다면 근이 하나가 있을 것이고, 포탄이 도달할 수 없는 영역에 있다면 근이 존재할 수 없다. 따라서 포탄이 도달할 수 있는 영역의 경계는 이 tanθ에 대한 이차방정식이 중근을 가질 때 (x0,y0)의 자취로 주어진다.

 

위 식을 정리하면 

x204Htan2θ+x0tanθ+x204Hy0=0

이므로 판별식이 0일 조건은 

x204x204H(x204Hy0)=0y0=H14Hx20

로 쓰인다. 따라서 대공포로 부터 안전한 영역의 경계는 다음에 주어지는 포물선 바깥 영역이다.

yH=1x2R2

여기서 R=2Hv0로 발사했을 때 최대 수평 도달거리를 나타낸다. 3차원 공간에서는 안전영역의 경계는 이 포물선을 주축에 대해서 회전시킨 포물면이 될 것이다.

 

 

 

중력이 일정하지 않고 1/r2으로 변할 때 지상에 다시 떨어지는 물체의 경로는 지구의 중심을 한 초점으로 하는 타원의 일부분이 된다. 이 경우 물체 궤도의 envelope은 어떻게 주어질까?

 
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curve.nb
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(1,1)에서 (0,0)까지를 연결하는 일차 곡선 (y=x), 이차 곡선 (y=x2), 6차 곡선 (y=x6), 사분원 (y=11x2) 그리고 cycloid (x=1R(θsinθ),y=1R(1cosθ)) 위를 움직이는 물체의 운동을 mathematica를 사용해서 animation으로 표현하는 방법을 알아보자. 중력가속도는 g=1로 놓는다. 적절한 generalized coordinate를 선택해서 Euler-Lagrange equation을 이용하면 운동방정식을 쉽게 구할 수 있다.

(A)  곡선이 y=f(x)의 형태로 주어지는 경우 운동방정식은

[1+(f)2]¨x+ff˙x2+f=0.

직선경로를 제외하면 운동방정식은 비선형이므로 mathematica의 NDSolve[]을 이용해서 수치적으로 푼다.

(B) 원의 경우는 x 좌표보다는 각변수를 이용하면 apparent singularity를 피할 수 있다. 이 경우 운동방정식은

¨θ=sinθ,

로 주어진다. 

(C) cycloid는 곡선을 따라 움직이는 시간

t=dsv=1+(dx/dy)22g(1y)dy

을 최소로 만들어주는 곡선이다. cycloid는 다음과 같이 R 변수와 각도 변수 θ로 표현할 수 있다.

1x=R(θsinθ),  y1=R(1cosθ)

이 곡선이 (0,0)을 지나야 하는 조건에서 R과 그 때의 θ 값을 구할 수 있다. 먼저 θ을 소거하면,

Rcos(1+2R1R)+1=R

을 얻고, 이 식의 근을 구하면 R 값이 정해진다. 또한, 1=R(θsinθ)을 풀어서 (0,0)에 도달할 때 θ=θ0 값을 얻을 수 있다. 그리고 시간과 θ 변수의 관계는 위의 표현을 적분에 대입하면 

t=Rgθ

로 주어짐을 알 수 있다. 이는 사이클로이드가 일정하게 굴러가는 바퀴의 한 점이 그리는 자취이기 때문이다.

 

아래는 5가지 경우의 곡선 각각에서 운동을 보여주는 mathematica 코드다. 곡선의 모양에 따라 바닥에 도착하는 시간이 다름을 알 수 있다. 출발 높이가 H일 때 걸리는 시간은 H/g 단위로 

직선: t1=10dy1y=2

2차 곡선: t2=101+4y8y(1y)dy=1.86336

6차 곡선: t6=101+36y5/372y5/3(1y)dy=1.90954

4분원: tc=π/20dθ2sinθ=1.85407

cycloid: t0=Rθ0=1.82568

Cyan: 직선, Blue: 2차 곡선, Magenta: 6차 곡선, Black: 원, Red: cycloid

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