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Parabola of Safety

Physics/역학 2022. 9. 16. 14:11

safetyparabola.nb
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한 지점에서 일정한 속력으로 마구 쏘아대는 대공포가 있을 때 포탄이 도달할 수 없는 영역은 어떻게 찾을 수 있을까? 유한한 발사속력 때문에 도달할 수 있는 영역에는 분명히 한계가 있다.

 

공기 저항을 무시할 때 포탄이 그리는 궤적은 포물선이 된다. 따라서 포탄에 맞지 않으려면 포탄이 그리는 가능한 모든 포물선에 접하는 곡선 밖에 있어야 할 것이다. 발사 각도가 θ일 때, v0 속력으로 발사한 포탄이 그리는 포물선은

y=tanθx14Hcos2θx2.

로 표시된다. 여기서 H=v20/2g는 포탄이 도달할 수 있는 최고 높이다. 

 

발사 평면의 한 점 (x0,y0)에 포탄이 도달하기 위해서는 

y0=tanθx0+14Hcos2θx20

을 만족시키는 발사각 θ가 있어야 한다. 1/cos2θ=1+tan2θ이므로 위 식은 tanθ에 대한 이차식이므로 일반적으로 발사각이 2개가 있다. 만약 (x0,y0)가 포탄에 맞는 경계영역에 있다면 근이 하나가 있을 것이고, 포탄이 도달할 수 없는 영역에 있다면 근이 존재할 수 없다. 따라서 포탄이 도달할 수 있는 영역의 경계는 이 tanθ에 대한 이차방정식이 중근을 가질 때 (x0,y0)의 자취로 주어진다.

 

위 식을 정리하면 

x204Htan2θ+x0tanθ+x204Hy0=0

이므로 판별식이 0일 조건은 

x204x204H(x204Hy0)=0y0=H14Hx20

로 쓰인다. 따라서 대공포로 부터 안전한 영역의 경계는 다음에 주어지는 포물선 바깥 영역이다.

yH=1x2R2

여기서 R=2Hv0로 발사했을 때 최대 수평 도달거리를 나타낸다. 3차원 공간에서는 안전영역의 경계는 이 포물선을 주축에 대해서 회전시킨 포물면이 될 것이다.

 

 

 

중력이 일정하지 않고 1/r2으로 변할 때 지상에 다시 떨어지는 물체의 경로는 지구의 중심을 한 초점으로 하는 타원의 일부분이 된다. 이 경우 물체 궤도의 envelope은 어떻게 주어질까?

 
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