Geometry & Recognition

공기 저항이 속력에 비례하는 경우는 물체의 궤적은 closed form이 있다. 그러나 저항력이 속력의 제곱에 비례하게 주어지는 경우는 수치적으로 해결해야 한다. 움직이는 방향의 단면적이 $A=\frac{1}{4}\pi D^2$인 물체가 밀도가 $\rho$인 공기 속에서 $\overrightarrow{v}$의 속도로 움직일 때 저항력은 

$${\overrightarrow{F}}_D=\frac{1}{4}\rho Av\overrightarrow{v}=\frac{1}{16}\pi \rho D^{2}v\overrightarrow{v}=cv\overrightarrow{v}$$

로 표현할 수 있다. 따라서 물체의 운동방정식은

$$m\ddot{\overrightarrow{r}}=m\overrightarrow{g}-cv\overrightarrow{v},$$

또는 성분으로 쓰면

$$m\ddot{x}=-c\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}\dot{x},$$

$$m\ddot{y}=-mg-c\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}\dot{y}$$

로 주어진다. 아래의 mathematica 코드는 구체적인 수치(SI-단위 기준, 발사각 ${\theta }_0$, 발사속력 $v_0$)를 대입해서 공기저항이 있을 때와 없을 때 물체의 궤적을 보여준다.

공기 저항이 있을 때 (2)

공기 저항이 없을 때 물체를 $v_0$ 속력으로 위로 던지면 최고점에 올라가는데 걸리는 시간과 다시 내려오는데 걸리는 시간은 동일하게 $t_{ff}=v_0/g$로 주어진다. 공기 저항이 있는 경우는 어떻게 될지 구체적으로 계산해보자.

반지름이 $R$인 공 모양의 물체가 속력의 제곱에 비례하는 공기 저항(끌림힘) $D=\frac{1}{2}C{\rho }_{air}A{v}^2\approx 0.2{\rho }_{air}\pi R^2{v}^2$을 받을 때, 올라가는 동안 운동 방정식은 (물체가 받는 공기의 부력도 고려해야 하지만 여기서는 무시한다. 부력은 $g$을 약간 줄이는 효과를 만든다)

$$m\frac{dv}{dt}=-mg-0.2{\rho }_{air}\pi R^2{v}^2,$$

$$\to \frac{dv}{dt}=-g(1+{\gamma }^2{v}^2),{\gamma }^2=0.2\frac{\pi R^2{\rho }_{air}}{mg}.$$

$\gamma$는 내려오는 과정에서 terminal speed의 역수를 의미한다. 시간에 대해 적분을 해서 속도를 구하면,

$$v(t)=\frac{1}{\gamma }\tan (-\gamma gt+\arctan (\gamma v_0))$$

최고점에 도달하는데 걸리는 시간은 $v(t_{up})=0$ 에서

$$t_{up}=\frac{1}{\gamma g}\arctan (\gamma v_0)=\frac{v_0}{g}(1-\frac{(\gamma v_0{)}^2}{3}+....)$$

로 주어지므로 공기저항이 없을 때보다 더 짧다. 최고점의 높이는

$$h_{max}={\int }_0^{t_{up}}v(t)dt=\frac{1}{{\gamma }^{2}g}\ln \sqrt{1+(\gamma v_0{)}^2}=\frac{v_0^2}{2g}(1-\frac{(\gamma v_0{)}^2}{2}+...)$$

로 주어지므로 역시 공기 저항이 없을 때보다 낮다.

다시 내려오는 과정에서 중력과 끌림힘이 반대방향이므로 운동 방정식은

$$\frac{dv}{dt}=-g(1-{\gamma }^2{v}^2)$$

로 주어지고, 이를 적분하면 (출발 시간을 $t=0$으로)

$$v(t)=-\frac{1}{\gamma }\tanh (\gamma gt)$$

이를 다시 적분하면 낙하시간에 따른 높이를 얻을 수 있다: $h(0)=h_{max}$

$$h(t)=\frac{1}{{\gamma }^{2}g}\ln \frac{\sqrt{1+(\gamma v_0{)}^2}}{\cosh (\gamma gt)}$$

따라서 바닥에 떨어지는데 걸리는 시간 $t_{dn}$은: $h(t_{dn})=0$

$$t_{dn}=\frac{1}{\gamma g}\text{arccosh}\sqrt{1+(\gamma v_0{)}^2}=\frac{1}{\gamma g}\ln (\gamma v_0+\sqrt{1+(\gamma v_0{)}^2})=\frac{v_0}{g}(1-\frac{(\gamma v_0{)}^2}{6}+...)$$

두 시간을 비교해보면 위로 던져진 물체가 최고점에 올라가는데 걸리는 시간보다 다시 내려오는데 걸리는 시간이 더 길다는 것을 볼 수 있다:

$$t_{dn}-t_{up}\approx \frac{(\gamma v_0{)}^2}{6}{t}_{ff}$$

$v_0=10\text{m/s}$로 ($\to t_{ff}=1.02\text{s}$, $v_{terminal}\approx 36.6\text{m/s}$) 야구공을 공중으로 던지는 경우를 예로 들면, 차이는 대략 0.013초 정도로 계산된다. 던지는 속력이 종단속력에 가깝거나 더 크면 근사식을 사용할 수 없고 정확한 계산식을 이용해야 한다.

$v_0=40\text{m/s}$, $1/\gamma =36.6\text{m/s}$ 일 때,

돌을 위로 던질 때 최고점까지 올라가는 데 걸린 시간과 다시 원래의 위치로 내려오는 데 걸리는 시간을 비교하면? 공기 저항이 있다고 생각하자.

1. 같다.

2. 올리 가는데 더 시간이 걸린다.

3. 내려오는데 더 시간이 걸린다.

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