통나무에 감긴 줄을 이용해서 물건 들기

통나무에 감긴 줄을 이용하면 훨씬 무거운 물체를 떨어지지 않게 지탱할 수 있다. 이는 줄과 통나무 사이에 작용하는 마찰력 때문이다. 감긴 줄이 팽팽하게 되었을 때 줄의 좌우의 장력에 차이가 생기는데 얼마나 생길까?

문제를 간단히 하기 위해 작은 각도($\mathrm{\Delta }\theta$)만 걸치는 경우를 생각하면, 오른쪽이 더 센 장력($T+\Delta T$)이 걸리면 마찰력($\mu N$)은 왼쪽 방향으로 작용한다. 좌우 장력의 차이 $\Delta T$를 계산하기 위해 평형 조건을 고려하면

$$\begin{array}{c}\sum F_x=(T+\mathrm{\Delta }T)\cos \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2}-T\cos \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2}-\mu N=0\\ \sum F_y=N-T\sin \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2}-(T+\mathrm{\Delta }T)\sin \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2}=0\end{array}$$

$\mathrm{\Delta }\theta \ll 1$이므로 $\cos \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2}\approx 1$, $\sin \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2}\approx \frac{\mathrm{\Delta }\theta }{2}$을 쓰면

$$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }T=\mu N\text{and}N=T\mathrm{\Delta }\theta \\ ⟶\frac{\mathrm{\Delta }T}{\mathrm{\Delta }\theta }=\mu T⟶\frac{dT}{d\theta }=\mu T\end{array}$$

$$\therefore T(\theta )=T_0{e}^{\mu \theta }\text{or}{T}_0=T(\theta )e^{-\mu \theta }$$

마찰력 때문에 장력은 감긴 각도의 크기에 지수함수적으로 비례해서 커진다. ($\theta$는 장력이 큰 쪽으로 증가한다) 위 그림에서 $T(\theta )=Mg$, $n+1/2(\text{or}\theta =(n+1/2)2\pi )$회 감기므로

$$T_0=e^{-2\pi \mu (n+1/2)}Mg(n=0,1,2,...)$$

따라서, 줄을 한 두 바퀴 정도만 감아도 무거운 물체를 충분히 지탱할 만큼의 장력이 발생하므로 작은 힘($T_0$)으로도 무거운 물체($Mg$)를 지탱할 수 있다.