통나무에 감긴 줄을 이용해서 물건 들기

통나무에 감긴 줄을 이용하면 훨씬 무거운 물체를 떨어지지 않게 지탱할 수 있다. 이는 줄과 통나무 사이에 작용하는 마찰력 때문이다. 감긴 줄이 팽팽하게 되었을 때 줄의 좌우의 장력에 차이가 생기는데 얼마나 생길까?

문제를 간단히 하기 위해 작은 각도($\Delta\theta$)만 걸치는 경우를 생각하면, 오른쪽이 더 센 장력($T+ΔT$)이 걸리면 마찰력($\mu N$)은 왼쪽 방향으로 작용한다. 좌우 장력의 차이 $ΔT$를 계산하기 위해 평형 조건을 고려하면

\begin{gather}\sum F_x = (T+\Delta T) \cos \frac{\Delta \theta}{2} - T\cos \frac{\Delta\theta}{2} -\mu N = 0 \\ \sum F_y = N - T \sin \frac{\Delta \theta}{2} - (T+\Delta T) \sin \frac{\Delta \theta}{2} = 0 \end{gather}

$\Delta \theta \ll 1$이므로 $\cos \frac{\Delta \theta}{2}\approx 1$, $\sin \frac{\Delta \theta}{2} \approx \frac{\Delta \theta}{2}$을 쓰면

\begin{gather} \Delta T = \mu N~\text{and}~ N = T \Delta \theta \\ \longrightarrow ~ \frac{\Delta T}{\Delta \theta} = \mu T ~ \longrightarrow~ \frac{dT}{d\theta} = \mu T\end{gather}

$$  \therefore~ T(\theta) = T_0 e^{\mu \theta}~ \text{or} ~ T_0 = T (\theta) e^{-\mu \theta}$$

마찰력 때문에 장력은 감긴 각도의 크기에 지수함수적으로 비례해서 커진다. ($\theta$는 장력이 큰 쪽으로 증가한다) 위 그림에서 $T(\theta) = Mg$, $n+1/2 (\text{or}~ \theta = (n+1/2) 2\pi)$회 감기므로

$$T_0 = e^{-2\pi \mu (n + 1/2)} Mg ~~(n=0,1,2,...)$$

따라서, 줄을 한 두 바퀴 정도만 감아도 무거운 물체를 충분히 지탱할 만큼의 장력이 발생하므로 작은 힘($T_0$)으로도 무거운 물체($Mg$)를 지탱할 수 있다.