점증적인 cosine/sine 값 계산

이미지 처리에서 각도를 다루게 되면 삼각함수를 이용해야 한다. 일반적인 PC 상에서는 CPU의 성능이 크게 향상이 되어 있고, floating point 연산이 잘 지원이 되므로 큰 문제가 없이 삼각함수를 바로 이용할 수가 있다. 그러나 embeded 환경에서는 연산 속도가 그다지 빠르지 않고 floating point 연산은 에뮬레이션을 하는 경우가 대부분이다. 이런 조건에서 루프 내에서 연속적으로 삼각함수를 호출하는 것은 성능에 많은 영향을 주게 되므로 다른 방법을 고려해야 한다. 일반적으로 각도를 점진적으로 증가시키면 cosine이나 sine 값을 계산해야 할 필요가 있는 경우에는 아래와 같이 처리한다:

for (int i = 0; i < nsteps; ++i) {
    double angle = i * angle_increment;
    double cos_val = cos( angle ) ;
    double sin_val = sin( abgle ) ;
    // do something useful with cos_val, and sin_val;
    // .......................;
}

물론 미리 계산된 cosine/sine의 값을 가지고 처리할 수도 있다. 하지만 매우 작은 각도 단위로 계산하는 경우는 lookup table의 크기가 매우 커지게 되므로 직접 계산을 하는 것보다 이득이 없을 수 있다. 이런 경우에는 다음의  삼각함수의 관계식을 이용하면 매번 cosine이나 sine 함수의 호출 없이도 필요한 값을 얻을 수 있다;

$$\cos(\theta+\delta)-\cos(\theta)=- (2\sin^2(\delta/2) \cos(\theta) + \sin(\delta)\sin(\theta))= -(\alpha \cos(\theta) + \beta \sin (\theta));$$

$$\sin(\theta+\delta)-\sin(\theta)= -(2\sin^2(\delta/2) \sin(\theta) - \sin(\delta)\cos(\theta))= -(\alpha \sin(\theta) - \beta \cos (\theta));$$

여기서 $\alpha = 2 \sin^2(\delta/2)$, $\beta = \sin(\delta)$다. 처음에 한번 계산된 $\alpha$와 $\beta$ 값을 이용하면, 추가적인 계산이 없이 점진적으로 $\cos$과 $\sin$의 값을 계산할 수 있다.

    int i = 0 ;
    double cos_val = 1 ; // = cos(0);
    double sin_val = 0 ; // = sin(0);
    double beta = sin(angle_increment) ;
    double alpha = sin(angle_increment/2) ;
    alpha = 2 * alpha * alpha ; 
    do {
        // do something useful with cos_val and sin_val ;
        // ...........................;
        // calculate next values;

        double cos_inc = (alpha * cos_val + beta * sin_val) ;
        double sin_inc = (alpha * sin_val - beta * cos_val) ;
        cos_val -= cos_inc ;
        sin_val -= sin_inc ;
    } while (++i < nsteps);

이 방법은 이론상 정확한 방법이나 round-off error가 전파가 되어서 반복 회수가 커질수록 에러가 누적이 될 위험이 있다. 이를 방지하기 위해 중간에 카운터를 두어서 일정한 반복 이후에는 cosine/sine값 계산을 다시 하여 에러를 리셋시키면 된다.