Edge and Corner Detection

이미지 처리 과정에서 미분에 해당하는 그래디언트 필드(gradient field: $g_x$, $g_y$ )를 이용하면 이미지 상의 특징인 corner, edge, ridge 등의 정보를 쉽게 얻을 수 있다. 이미지의 한 지점이 이러한 특징을 가지는 특징점이 되기 위해서는 그래디언트 필드의 값이 그 점 주변에서 (3x3나 5x5정도 크기의 window) 일정한 패턴을 유지해야 한다. 이 패턴을 찾기 위해서 그래디언트 필드에 PCA를 적용해보자. 수평과 수직방향의 그래디언트 field인 $g_x$와 $g_y$ 사이의 covariance 행렬은 다음 식으로 정의된다:

$$\mathrm{\Sigma }=\left[\begin{array}{cc}<g_x^2>& <g_x{g}_y>\\ <g_x{g}_y>& <g_y^2>\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{s}_{xx}& s_{xy}\\ s_{xy}& s_{yy}\end{array}\right];$$

$<...>={\int }_W(...)dxdy$는 픽셀 윈도에 대한 적분을 의미한다. $\mathrm{\Sigma }$의 eigenvalue는 항상 음이 아닌 값을 갖게 되는데 (matrix 자체가 positive semi-definitive), 두 eigenvalue이 ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$면

$${\lambda }_1+{\lambda }_2=s_{xx}+s_{yy}\ge 0$$

$${\lambda }_1{\lambda }_2=s_{xx}{s}_{yy}-s_{xy}^2\ge 0$$

을 만족한다 (완전히 상수 이미지를 배제하면 0인 경우는 없다). eigenvalue ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$는 principal axis 방향으로 그래디언트 필드의 변동(분산)의 크기를 의미한다. edge나 ridge의 경우는 그 점 주변에서 잘 정의된 방향성을 가져야 하고, corner의 경우는 방향성이 없어야 한다. edge나 ridge처럼 일방향성의 그래디언트 특성을 갖거나 corner처럼 방향성이 없는 특성을 서로 구별할 수 있는 measure가 필요한데, ${\lambda }_1$과 ${\lambda }_2$를 이용하면 차원이 없는 measure을 만들 수 있다. 가장 간단한 차원이 없는 측도(dimensionless measure)는  eigenvalue의 기하평균과 산술평균의 비를 비교하는 것이다.

$$Q=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{{\left(\frac{{\lambda }_1+{\lambda }_2}{2}\right)}^2}=4\frac{s_{xx}{s}_{yy}-s_{xy}^2}{(s_{xx}+s_{yy}{)}^2};$$

기하평균은 산술평균보다도 항상 작으므로

$$0\le Q\le 1$$

의 범위를 갖는다. 그리고 $Q$의 complement로

$$P=1-Q=\frac{(s_{xx}-s_{yy}{)}^2+4s_{xy}^2}{(s_{xx}+s_{yy}{)}^2};$$를 정의할 수 있는 데 $0\le P\le 1$이다. $Q$와 $P$의 의미는 무엇인가? 자세히 증명을 할 수 있지만 간단히 살펴보면 한 지점에서 $Q\to 1$이려면 ${\lambda }_1\approx {\lambda }_2$이어야 하고, 이는 두 주축이 동등하다는 의미이므로 그 점에서는 방향성이 없는 코너의 특성을 갖게 된다. 반대로 $Q\to 0$이면 강한 방향성을 갖게 되어서 edge(ridge) 특성을 갖게 된다.

 

실제적인 응용으로는 지문 인식에서 지문 영역을 알아내거나 (이 경우는 상당이 큰 윈도를 사용해야 한다) 또는 이미지 텍스쳐 특성을 파악하기 위해서는 이미지를 작은 블록으로 나누고 그 블록 내의 미분 연산자의 균일성을 파악할 필요가 있는데 이 차원이 없는 측도는 이미지의 상태에 상관없이 좋은 기준을 주게 된다.

 

참고 논문:

Image field categorization and edge/corner detection from gradient covariance
Ando, S.
Pattern Analysis and Machine Intelligence, IEEE Transactions on
Volume 22, Issue 2, Feb 2000 Page(s):179 - 190

 

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