Integration along branch cuts-008

$$I = \int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}$$

복소 함수 $$f(z)= \frac{1}{z\sqrt{z^2-1}}$$ 의 contour 적분을 이용해서 구한다. $z =\pm 1$이 branch point이므로 branch cut을 그림처럼 잡는다.

위상은 $0 \le \text{arg}(z-1)\le 2\pi$, $-\pi \le \text{arg}(z+1) \le \pi$로 선택할 수 있다. $z=0$이 $f(z)$의 simple pole이고  residue가 

$$\text{Res}f(z=0) = \frac{1}{i}$$ 이므로 residue 정리에 의해서($\Gamma = \sum   C_k$)

$$\oint_\Gamma f(z) dz = 2\pi i \times \text{Res}f(z=0) = 2\pi.$$

$C_1$:   $z= x e^{i0}~(x: 1 \rightarrow \infty)$, $z-1=(x-1)e^{i0}$, $z+1 = (x+1)e^{i0}$이므로

$$\int_{C_1} f(z)dz = I$$

$C_3$: $z= x e^{i2\pi }~(x:\infty \rightarrow 1)$, $z-1=(x-1)e^{i2\pi }$, $z+1 = (x+1)e^{i0}$이므로

$$\int_{C_3} f(z)dz = \int_\infty^1 \frac{d}{x\sqrt{x^2-1} e^{i\pi}   } = I.$$

$C_4$: $z= x e^{i \pi }~(x:1 \rightarrow \infty)$, $z-1=(1+ x)e^{i\pi }$, $z+1 = (x-1)e^{-i \pi}$이므로

$$\int_{C_4} f(z)dz = \int_1^\infty \frac{d}{(-x)\sqrt{x^2-1}   } = I.$$

$C_6$: $z= x e^{i\pi}~(x: \infty \rightarrow 1)$, $z-1=(1+ x)e^{i\pi }$, $z+1 = (x-1)e^{i \pi}$이므로

$$\int_{C_6} f(z)dz = \int_\infty^1 \frac{-dx}{(-x)\sqrt{x^2-1}e^{i\pi}   } = I.$$

그리고,

$$\int_{C_2} f(z)dz = \int_{C_5} f(z) dz = O(\sqrt{\epsilon}) \rightarrow 0 \\ \int_{C_\infty} f(z)dz =  O( 1/R) \rightarrow 0$$

이므로

$$I = \int_1^\infty \frac{dx}{x \sqrt{x^2-1} } = \frac{\pi }{2}$$ 이 결과는 $x=\text{cosh}(t)$로 치환을 해서 구하는 편이 더 쉬울 수 있다.