Sampling Theorem

comb 함수: 일정한  간격($T$)으로 주어진 message를 샘플링하는 함수.

$${\text{comb}}_T(t):=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$$

주기가 $T$인 함수다: 

$${\text{comb}}_T(t)={\text{comb}}_T(t+T)$$

따라서 Fouries series 전개가 가능하다.

$${\text{comb}}_T(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{i2\pi nt/T}$$

계수 $c_n$은?

$$\begin{array}{rl}{c}_n:=& \frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{\text{comb}}_T(t)e^{-i2\pi nt/T}dt\\ =& \frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}dt\\ =& \frac{1}{T}{e}^{-i2\pi n(0)/T}=\frac{1}{T}.\end{array}$$

따라서, ${\text{comb}}_T(t)$의 Fourier series 전개는 

$${\text{comb}}_T(t)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{i2\pi nt/T}.$$

frequency domain에서 delta 함수의 역 Fourier transform은 정의에 의해서

$${\mathcal{F}}^{-1}[\delta (f-f_0)]=\int \delta (f-f_0)e^{i2\pi tf}df=e^{i2\pi t{f}_0}$$

그럼 ${\text{comb}}_T(t)$의 Fourier transform은 어떻게 표현되는가?

$$\begin{array}{rl}\mathcal{F}[{\text{comb}}_T(t)]=& \frac{1}{T}\sum \mathcal{F}[e^{i2\pi nt/T}]\\ =& \frac{1}{T}\sum \mathcal{F}[{\mathcal{F}}^{-1}[\delta (f-n/T)]]\\ =& \frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-n/T).\end{array}$$ $\text{comb}$ 함수의 Fourier 변환은 frequency domain에서 $\text{comb}$ 함수이고 (up to constant factor),  time domain에서 주기가 $T$일 때 frequency domain에서는 $1/T$의 주기를 가진다.

주어진 message $m(t)$에서 일정한 간격 $T$로 샘플링된 message $m_s(t)$는 $\text{comb}$ 함수를 이용하면

$$m_s(t):=m(t){\text{comb}}_T(t)=\sum m(nT)\delta (t-nT)$$

로 표현된다.

양변에 Fourier transform을 적용하면,

$$\begin{array}{rl}{M}_s(f)=\mathcal{F}[m_s]=& \mathcal{F}[m(t){\text{comb}}_T(t)]=\mathcal{F}[m]\ast \mathcal{F}[{\text{comb}}_T]\\ =& \frac{1}{T}\sum \int \delta (f^{\prime }-n/T)M(f-f^{\prime })d{f}^{\prime }\\ =& \frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}M(f-n/T).\end{array}$$

따라서 message의 spectrum이 band-limited이고, $\text{band-width}\le \frac{1}{2}{f}_s=\frac{1}{2T}$인 조건을 만족하면 샘플링된 데이터를 이용해서 원 신호를 복원할 수 있다.

이 경우에 low-pass filter 

$$H(f/f_s):=T\cdot \text{rect}(f/f_s)=\{\begin{array}{ll}T,& |f/f_s|<1/2\\ 0,& |f/f_s|>1/2,\end{array}$$

을 sampled massage의 Fourier transform에 곱해주면, 원 message의 Fourier transform을 얻는다:

$$M(f)=H(f)M_s(f).$$

그런데 $M_s(f)$는 frequency domain에서 주기가 $f_s=1/T$인 주기함수이므로 Fourier series로 표현할 수 있다:(${\text{comb}}_T$ 함수와 같은 방식으로 하면 계수를 쉽게 찾을 수 있다: Poisson summation formula)

$$M_s(f)=\frac{1}{T}\sum M(f-n{f}_s)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}m(nT)e^{-i2\pi nfT}$$

따라서, 

$$\begin{array}{rl}M(f)=& H(f/f_s)M_s(f)\\ =& H(f/f_s)\sum m(nT)e^{-i2\pi nfT}\\ =& \sum m(nT)(\text{rect}(f/f_s)T{e}^{-i2\pi nTf})\\ =& \sum m(nT)\mathcal{F}\left[\text{sinc}\left(\pi \frac{t-nT}{T}\right)\right]\end{array}$$

이므로 양변에 역 Fourier transform을 하면 sampled 된 message $\{m(nT)|n\in Z\}$를 이용해서 원 message를 복원할 수 있는 식을 얻을 수 있다(Whittaker-Shannon interpolation):

$$m(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}m(nT)\text{sinc}\left(\pi \frac{t-nT}{T}\right).$$