Integration along a branch cut-013

$$I=\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^4}$$

이 적분을 구하기 위해 $z=0$에 branch point를 가지는 복소함수

$$f(z)=\frac{\log  z }{1+z^4}$$

을 고려하자. Branch point가 $z=0, \infty$이므로 branch cut을 $+x$으로 선택하고 그림과 같은 contour에 대해서 $f(z)$를 적분을 한다.

$f(z)$는 $z=e^{i(2k+1) \pi/4}, ~(k=0,1,2,3)$에 simple pole을 가진다.

$$\oint_{C} f(z) dz = \left( \int_{C_1} + \int_{C_2} + \int_{C_R} + \int_{C_\epsilon} \right) f(z)dz.$$

$C_R$에 대한 적분은 $z=Re^{i\theta}$로 쓰면,

$$\left| \int_{C_R} f(z) \right| =\left| \int_0^{2\pi} \frac{\log R + i \theta }{ 1 +R^4 e^{i4 \theta} } iR e^{i \theta} d \theta  \right| < (2\pi R) \frac{ \log  R + 2\pi }{R^4 -1} \rightarrow 0, \quad R \rightarrow \infty.$$  

$C_\epsilon$에 대한 적분은 $z= \epsilon e^{i \theta}$로 쓰면

$$\left|  \int_{C_\epsilon} f(z) dz \right| = \left| \int_{2\pi}^0 \frac{ \log  \epsilon+ i \theta }{ 1+ \epsilon^4 e^{i 4\theta} } i \epsilon e^{i \theta } d \theta \right|  < (2\pi\epsilon) \frac{|\log \epsilon | + 2\pi }{1-\epsilon^4 } \rightarrow 0, \quad \epsilon \rightarrow 0$$

$C_1$에서 $z=x e^{i0}, x: 0\rightarrow \infty$이고, $C_2$에서 $z= x e^{i 2\pi}, ~x: \infty \rightarrow 0$

$$\int_{C_1 + C_2} f(z) dz = \int_0^\infty \frac{ \log x }{ 1+ x^4} dx + \int_\infty^0 \frac{\log x + i 2 \pi }{1+ x^4} dx = -i 2\pi \times I$$

Residue 정리에 의해서 

$$\oint_{C} f(z)dz = 2\pi i \times  \sum_{k=0}^{3}\text{Res}(z=e^{i (2k+1) \pi/4}) = -i 2\pi \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$

이므로 

$$I = \int_0^\infty \frac{dx}{1+x^4} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$

임을 확인할 수 있다.

아래는 Mathematica를 이용하여 얻은 결과다.