Catenary

체인이나 줄을 느슨한 상태로 양끝을 고정시킬 때 모양은 포물선처럼 보이지만 실제로는 그렇지 않고 현수선(catenary)라고 불리는 곡선이다. 양끝을 고정시킨 줄을 보자.

늘어진 줄에는 자신의 무게를 지탱하기 위해서 장력이 걸린다. 그런데 중력이 수직방향으로 걸리므로 장력은 줄의 위치에 따라 달라져야 한다.  수평방향은 움직임이 없으므로 장력의 수평 성분은 모두 같아야 하는데, 줄의 가장 아래로 처진 부분의 접선방향이 수평이므로 이 지점에서 장력($T_0$)와 같아야 한다. 줄의 선밀도가 $\lambda$이고, 가장 아래 지점을 기준으로 곡선의 길이를 $s$라고 하자. 현수선의 수평 위치를 $x$, 수직 위치를 $y$로 하면 $y$는 $x$의 함수로 생각할 수 있고, 가장 아랫부분($x=0$으로 잡자)에서 잰 줄의 길이는

$$s =\int\sqrt{dx^2 + dy^2} =  \int_{0}^x \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx$$

로 쓸 수 있다.

그러면 $(x, y)$에서 줄의 장력을 $T$, 접선이 이루는 각도를 $\psi$라면, 힘의 평형 조건에서

\begin{gather} T \cos \psi = T_0 \\ T \sin \psi = \lambda s g . \end{gather}

따라서 접선의 기울기는

$$ \frac{dy}{dx} = \tan \psi = \frac{\lambda gs }{T_0} = \frac{s}{a}= \frac{1}{a} \int_0^{x} { \sqrt{ 1+\Big( \frac{dy}{dx}\Big)^2}} dx, \quad a \equiv \frac{T_0}{\lambda g}$$

이 식은 $y(x)$에 대한 미분-적분 방정식 형태이므로 미분 방정식으로 바꾸기 위해서 한번 더 미분을 하면 

$$ \frac{d^2 y}{dx^2}  = \frac{1}{a} \sqrt{1 + \Big(\frac{dy}{dx}\Big)^2 }.$$

한번 적분하면 ($\frac{dy}{dx} (x=0)=0$)

$$ \frac{dy}{dx}  =\sinh (x/a).$$ 

다시 적분하면 

$$ y = a \cosh( x/a) + C$$

을 얻는 데, 원점을 이동해서 현수선의 가장 아랫부분이 ($0,a$)가 되도록 조정하면 $C=0$이 된다. 현수선은 선밀도와 꼭지점에서의 장력 비 $a$로 모양이 결정된다. 이 값은 한 지점에서 꼭짓점까지 수평거리($x$)와 기울기를 측정하면 결정할 수 있다: 특징 1번. 그리고 $|x| \ll a$일 때

$$y=  a\left[ 1 + \frac{1}{2}\Big(\frac{x}{a}\Big)^2 + \frac{1}{24}\Big( \frac{x}{a}\Big)^4+...\right] $$

이므로 꼭짓점 근방에서는 포물선으로 근사가 가능하다.

몇 가지 특징:

1. 접선의 기울기:  $\tan \psi =\frac{dy}{dx}= \sinh(x/a)$. 

2. 곡선의 길이: $s = a \tan\psi = a \sinh( x/a)$.

3. $y^2 = a^2+ s^2 ~~\rightarrow ~~ y = a\cosh(x/a) = a\sec(\psi)$.

4. 장력: $T = \lambda g \sqrt{a^2 + s^2} =\lambda g \cosh (x/a)= \lambda g y$. 

5. 현수선의 길이($s$)를 매개변수로 선택하면,

$$\frac{dx}{ds} = \frac{1}{ds/dx}= \frac{1}{\sqrt{1 + (dy/dx)^2} }= \frac{a}{\sqrt{a^2 + s^2}},$$

$$ \frac{dy}{ds} = \frac{dy/dx}{ds/dx}=\frac{s}{\sqrt{a^2+s^2}},$$

따라서 $(dx/ds)^2 + (dy/ds)^2 = 1$임을 알 수 있다.

6. $\frac{dx}{d s} = \frac{1}{a}   \cos^2(\psi)\frac{dx}{d\psi} = \cos(\psi) ~~\rightarrow~~ \frac{dx}{d\psi} = a \sec{\psi} $  이므로 $x= a \ln ( \sec(\psi) + \tan(\psi))$

Note: 미분방정식의 유도를 local version으로 바꾸자. 줄의 장력의 $x$의 함수로 볼 수 있고, 그림에서 힘의 평형을 적용하면, 우선 수평방향에 대해서

$$ \sum F_x = T(x+dx) \cos[ \psi(x+dx)] - T(x) \cos [\psi(x)]=0$$ 

이 식은 장력의 수평성분은 어디서나 같음을 의미하므로 이 값을 꼭지점($\psi=0$)의 값 $T_0$로 고정하자.

수직방향에 대해서는

$$ \sum F_y = T(x+dx) \sin[ \psi(x+dx)] - T(x) \sin[\psi(x)] -dm g=0$$

$T(x+dx)$와 $T(x)$을 소거하고 정리하면

$$  \tan  [\psi(x+dx)] -\tan[\psi(x)] = \frac{dm g}{T_0} = \frac{\lambda g}{T_0} \sqrt{dx^2+dy^2}.$$ 

그런데 $dy/dx = \tan(\psi)$이므로 

 $$ \tan[\psi(x+dx)]- \tan[\psi(x)] = dx \frac{d}{dx} \tan(\psi) =    \frac{d^2y}{dx^2 }dx$$

정리되어 현수선 방정식을 얻을 수 있다.