체인이나 줄을 느슨한 상태로 양끝을 고정시킬 때 모양은 포물선처럼 보이지만 실제로는 그렇지 않고 현수선(catenary)라고 불리는 곡선이다. 양끝을 고정시킨 줄을 보자.

늘어진 줄에는 자신의 무게를 지탱하기 위해서 장력이 걸린다. 그런데 중력이 수직방향으로 걸리므로 장력은 줄의 위치에 따라 달라져야 한다. 수평방향은 움직임이 없으므로 장력의 수평 성분은 모두 같아야 하는데, 줄의 가장 아래로 처진 부분의 접선방향이 수평이므로 이 지점에서 장력(
로 쓸 수 있다.
그러면
따라서 접선의 기울기는
이 식은
한번 적분하면 (
다시 적분하면
을 얻는 데, 원점을 이동해서 현수선의 가장 아랫부분이 (
이므로 꼭짓점 근방에서는 포물선으로 근사가 가능하다.
몇 가지 특징:
1. 접선의 기울기:
2. 곡선의 길이:
3.
4. 장력:
5. 현수선의 길이(
따라서
6.

Note: 미분방정식의 유도를 local version으로 바꾸자. 줄의 장력의
이 식은 장력의 수평성분은 어디서나 같음을 의미하므로 이 값을 꼭지점(
수직방향에 대해서는
그런데
정리되어 현수선 방정식을 얻을 수 있다.

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