Mean distance between two randomly chosen points in unit square

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한 변의 길이가 1인 정사각형 내부의 임의의 두 점을 뽑았을 때 길이를 측정할 때 평균적으로 얼마나 될 것으로 예측할 수 있을까? 문제를 해결하기 위해서는 우선 주어진 길이가 특정한 값을 가질 확률밀도함수를 구해야 한다. $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 독립적이므로 우선 1차원인 경우를 구한 후 해결하면 된다. 그리고 거리가 연속적이므로 주어진 거리 $(a)$ 이하일 확률 $P_1(a)$을 구한 후 그것의 미분을 구하면 $(p_1(a)da=d{P}_1)$ 주어진 거리에 대한 확률밀도함수를 얻을 수 있다. 두 위치 $x_1,x_2$가 선택될 때 거리는 $|x_1-x_2|$이고, $|x_1-x_2|\le a$일 확률은 $x_1,x_2$을 좌표축으로 하는 평면의 정사각형 영역에서 회색 부분의 면적에 비례한다:

$$P_1(|x_1-x_2|\le a)=1-(1-a{)}^2,0\le a\le 1$$ 

이므로 두 지점의 거리가 $a$일 확률밀도함수는

$$p_1(a)=\frac{d{P}_1}{da}=2(1-a)(1-\text{dim})$$

으로 주어진다. 따라서 단위길이의 직선 위에서 선택된 두 점 사이의 평균 거리는

$$\bar{a}={\int }_0^{1}2(1-a)ada=\frac{1}{3}$$

물론 단순하게 생각하면 두 좌표가 독립적이므로 

$$\overline{|x_1-x_2|}={\int }_0^1{\int }_0^1|x_1-x_2|d{x}_{1}d{x}_2=\frac{1}{3}$$

임을 확인할 수 있다.

거리의 분산을 구하면 

$${\sigma }^2(a)=\overline{a^2}-(\bar{a}{)}^2={\int }_0^{1}2(1-a)a^{2}dx-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$$

이다.

 

평면의 경우는 두 독립적인 1차원 분포의 곱으로 주어지므로 $x-$좌표의 차이가 $a_1$이고 $y-$좌표의 차이가 $a_2$일 확률밀도함수는

$$p_2(a_1,a_2)=p_1(a_1)p_1(a_2)=4(1-a_1)(1-a_2)(2-\text{dim})$$

으로 주어진다. 그리고 평균 거리는

$$\overline{\sqrt{a_1^2+a_2^2}}={\int }_0^1{\int }_0^{1}4(1-a_1)(1-a_2)\sqrt{a_1^2+a_2^2}d{a}_{1}d{a}_2$$

$$=\frac{1}{15}(2+\sqrt{2}+5{\text{sinh}}^{-1}(1))=0.521405$$

직선과 마찬가지로 평면에서 2점의 4 좌표가 독립적이므로 평균 거리는

$$\overline{\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}}$$

$$={\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}d{x}_{1}d{x}_{2}d{y}_{1}d{y}_2$$

을 계산해서 얻을 수도 있다.

double MeanRandomDist_Square() {
    const int nTrial = 10000000;
    srand(unsigned(time(0)));
    double sum_dist = 0;
    for (int i = nTrial; i-->0;) {
        const double dx = double(rand()) / RAND_MAX - double(rand()) / RAND_MAX;
        const double dy = double(rand()) / RAND_MAX - double(rand()) / RAND_MAX;
        sum_dist += hypot(dx, dy);
    }
    double mean_dist = sum_dist / nTrial;
    TRACE("mean dist in a square =%f\n", mean_dist);
    return mean_dist;
}

일반적인 $n-$차원인 경우는? 구체적인 계산이 없이도 평균거리는 늘어날 것으로 쉽게 예측할 수 있다.