Catenary: Variational Approach

두 지점 $x=\pm a$에 같은 높이로 고정되어 있는 길이 $L$인 줄이 만드는 곡선 $y(x)$는 catenary라고 불리는 곡선으로 표현됨은 이미 알고 있다. 이를 에너지 관점에서 구하도록 하자. 전체 계의 에너지는 평형상태이므로 줄의 중력 위치에너지만 존재한다. 줄의 선밀도가 $\mu$일 때 중력 위치에너지는

$$U=\int gydm=\int gy\mu ds=\mu g{\int }_{-a}^{a}y\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

그리고 줄의 길이가 $L$이므로 

$$L=\int ds={\int }_{-a}^a\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$$

따라서 일정한 길이를 가지면서 위치에너지를 최소화시키는 곡선의 모양을 찾아야 하는데 이는 아래의 범함수의 stationary point를 찾는 문제다.

$$J=\mu g{\int }_{-a}^{a}y\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx+\mu g\lambda ({\int }_{-a}^a\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx-L)$$

$$=\mu g{\int }_{-a}^a[y\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}+\lambda (\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}-\frac{L}{2a})]dx$$

$$=\mu g{\int }_{-a}^a\mathcal{L}dx$$

여기서 $\lambda$는 Lagrange multiplier이다. $\mathcal{L}$이 명시적으로 $x$에 의존하지 않으므로 (first integral of E-L equation)

$$\mathcal{L}-y^{\prime }\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y^{\prime }}=C=\text{const}$$

임을 알 수 있고, 이를 정리하면 다음의 결과를 얻는다:

$$y^{\prime }=\sqrt{{\left(\frac{y+\lambda }{C+\lambda L/2a}\right)}^2-1}$$

이 방정식을 바로 적분을 해서 구체적인 해를 구해도 되지만, 여기서는 이 식을 한 번 더 미분하면

$$y^{″}=\frac{1}{C+\lambda L/2a}\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\frac{1}{k}\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$$

을 얻는다. 이 식이 현수선을 기술하는 미분방정식임을 이미 앞에서 살펴보았다. 

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Catenary