Catenary: rolling square wheels

바퀴를 원형으로 만드는 것보다는 네모로 만드는 것이 가공 측면에서 더 쉽다(?). 그러나 네모 바퀴는 중심이 바닥에서 계속 위-아래로 움직이므로 승차감이 떨어진다. 수평 바닥을 움직일 때 무게중심은 바퀴의 대각선이 수직으로 설 때 바닥에서 가장 높고, 한 변이 접할 때 바닥에서 가장 낮으므로, 바퀴 중심이 일정한 높이에서 움직이게 하려면 바닥의 모양을 평평할 수 없다. 바퀴의 무게중심이 출렁거림 없이 움직이기 위해서는 바닥의 모양이 어떤 형태로 주어야 져야 하는지 알아보자.

https://www.youtube.com/watch?v=qFVti39MvX8

 

우선 바퀴의 한 변의 길이를 $2\ell$로 하자. 그러면 평평한 바닥일 때 무게중심은 바닥에서 최대로 $\sqrt{2}\ell$ 만큼 올라가므로, 바닥을 변형시킬 때 이 높이를 유지할 수 있도록 모양을 선택하고 이때 곡선을 기술하는 $x$ 좌표를 $x=0$으로 잡는다. $x>0$일 때 바퀴의 한 변이 접하는 접점의 좌표를 $(x,y)$라면, 이 점에서 기울기가 $y^{\prime }=dy/dx=\tan \psi$이므로 접선의 방정식은 ($(X,Y)$로 표현) 

$$Y-y=y^{\prime }(X-x)$$

로 표현된다. 그리고 바퀴의 중심은 $(x,\sqrt{2}\ell )$에 있음을 알 수 있고, 중심에서 접선에 가장 가까운 점을 $(X_0,Y_0)$라고 하면 그림에서

$$X_0-x=(\sqrt{2}\ell -y)\sin \psi \cos \psi =(\sqrt{2}\ell -y)\frac{y^{\prime }}{1+(y^{\prime }{)}^2},$$

$$\sqrt{2}\ell -Y_0=(\sqrt{2}\ell -y){\cos }^2\psi =(\sqrt{2}\ell -y)\frac{1}{1+(y^{\prime }{)}^2}.$$

임을 알 수 있다. 바퀴 중심에서 접선까지 거리가 $\ell$이므로 이를 두 점 $(x,\sqrt{2}\ell )$, $(X_0,Y_0)$의 사이거리로 표현하면

$${\ell }^2=(x-X_0{)}^2+(\sqrt{2}\ell -Y_0{)}^2$$

 

위의 관계를 정리하면

$${\ell }^2=(\sqrt{2}\ell -y{)}^2[\frac{(y^{\prime }{)}^2}{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^2}+\frac{1}{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^2}]$$

이므로 곡선에 대한 다음 식을 얻는다.

$$y=\sqrt{2}\ell -\ell \sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$$

한 번 더 미분하면,

$$y^{″}=-\frac{1}{\ell }\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}$$

이어서 위로 볼록인 catenary 형태로 바닥이 만들어져야 함을 알 수 있다. 

$y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=1$을 만족해야 하므로 해는

$$y=\sqrt{2}\ell -\ell \cosh [{\cosh }^{-1}(\sqrt{2})-x/\ell ]$$

임을 알 수 있고, 언덕 하나를 넘는 동안 수평이동거리는 $x=2\ell {\cosh }^{-1}(\sqrt{2})\approx 1.76275\ell$이다. 중심이 등속운동($dx/dt=v$)을 하는 경우 바퀴의 회전각속도는 ($y^{\prime }=\tan \psi$)

$$\frac{d\psi }{dt}=v{\cos }^2(\psi )y^{″}=-\frac{v}{\sqrt{2}\ell -y}=-\frac{v}{\ell \cosh [{\cosh }^{-1}(\sqrt{2})-vt/\ell ]}$$

이므로 등각속도 운동은 아니다.

 

Ref: https://my.vanderbilt.edu/stacyfonstad/files/2011/10/squareWheels.pdf