Catenary: constant stress

줄에 걸리는 장력을 줄의 단면적으로 나눈 값이 stress ($\sigma =T/A$)는 균일한 줄에서는 일반적으로 일정할 수 없다. 현수선에서 줄에 걸리는 stress를 유지하려면 줄의 단면적을 가변적으로 만들면 가능하다. 이 경우 현수선 중심선의 모양 $y(x)$가 어떻게 주어지는 알아보자. 현수선의 밀도가 $\rho$, 꼭짓점으로부터 떨어진 거리가 $s$인 지점의 단면적이 $A(s)$일 때, 힘의 평형 조건에서 

$$\sum F_x=T\cos \psi -T_0=0,$$

$$\sum F_y=T\sin \psi -\int \rho gA(s)ds=0.$$

여기서 $T_0$는 장력의 수평성분으로 꼭짓점에서 장력을 의미한다. 위 식에서 $T$를 소거하여 정리하면

$$y^{\prime }=\tan \psi =\rho g\int \frac{A(s)ds}{T_0}$$

을 얻는다. stress가 일정하다는 조건 $\sigma =T/A(s)$에서 $A(s)=T(s)/\sigma =T_0/\sigma \cos \psi$로 치환하면

$$y^{\prime }=\frac{\rho g}{\sigma }\int \frac{ds}{\cos \psi }.$$

양변을 $s$로 미분하면 

$$\text{LHS}=\frac{d}{ds}{y}^{\prime }=\frac{dx}{ds}{y}^{″}=\frac{1}{ds/dx}{y}^{″},$$

$$\text{RHS}=\frac{\rho g}{\sigma }\frac{1}{\cos \psi }.$$

$\tan \psi =dy/dx$ 이므로 $\cos \psi =1/\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}$, 그리고 $ds/dx=\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}$ 이므로

곡선이 만족해야 하는 방정식은

$$y^{″}=\frac{\rho g}{\sigma }(1+(y^{\prime }{)}^2)$$

으로 주어진다.

 

꼭짓점이 $x=0$을 통과하게 선택하면 $y^{\prime }(x=0)=0$이므로 위식을 적분하면

$$y^{\prime }=\tan (\frac{\rho g}{\sigma }x).$$

꼭짓점이 원점에 있게 좌표를 잡으면, $y(x=0)=0$, 위 식을 적분해서

$$y=-\frac{\sigma }{\rho g}\log \cos (\frac{\rho g}{\sigma }x)$$

을 얻는다. 꼭짓점 근방에서 위 곡선은 포물선으로 근사된다.

$$y\approx \frac{\rho g}{2\sigma }{x}^2+....$$

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