Catenary: Rolling Parabolas

Catenary는 여러 가지 놀라운 특징을 가지고 있는데 그중 하나가 포물선을 직선 위에서 굴릴 때 초점이 그리는 자취의 모양도 준다는 점이다. 포물선을 직선 위에서 굴리면 포물선 상의 각 점들은 회전과 동시에 병진 운동을 한다. 포물선의 초점이 어떻게 변화는 보기 위해서 구체적인 포물선을 사용하자. 포물선이 $4a y = x^2$으로 쓰면 초점은 $(0, a)$으로 주어진다. 포물선의 구름을 기술할 때는 매개변수를 사용하는 것이 편리하다. 꼭짓점에 해당하는 매개변수 값을 $t=0$으로 잡으면 포물선의 임의의 점은

$$ (x, y ) = (2a t,  at^2)$$

표현할 수 있다. 굴림에 의해서 포물선 상의 한 점 $(x=2at_1, y=at_1^2)$가 $x$-축 위에 놓이게 되었다고 하자. 이때 회전각은 구르기 전 접선의 기울기에 해당하는 각 $\psi = \tan^{-1}(dy/dx)$ 이다 (그림 참조).

이 과정은 접점 $(x,y)$를 회전축으로 해서 초점의 변위 벡터 $(0,a)^T - (x, y)^T$를(그림의 붉은 화살표)는 시계방향으로 회전시킨 후(왼쪽 녹색 화살표), 원점에서 접점까지의 곡선 길이 $s$만큼 $x$축으로 평행이동시키면 된다(오른쪽 파란색 화살표). 곡선의 길이는 매개변수로 표현하면

$$s= \int_0^{t_1} \sqrt{  (2a)^2 + (2at')^2 } dt' = a(  t_1 \sqrt{1+t_1^2} + \sinh^{-1}(t_1)),$$

이다. 시계방향으로 회전행렬은

$$ \mathbf{R}(\psi) =  \begin{pmatrix} \cos\psi & \sin \psi  \\ -\sin\psi & \cos \psi\end{pmatrix}  ,\quad \tan\psi = \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt} = t_1 $$

로 표현할 수 있다. 따라서, 이 굴림에 의해서 초점의 위치는

$$ \left(\begin{array}{c} X\\Y\end{array}\right) = \mathbf{R} .\left( \begin{array}{c} 0 - 2at_1 \\ a- at_1^2 \end{array}\right) +   \left( \begin{array}{c} s  \\ 0 \end{array} \right)$$

로 옮긴다. 이를 정리하면 다음 식을 얻는다.

$$ X= a\sinh^{-1}(t_1),\quad Y = a \sqrt{1+t_1^2}$$

이 식에서 $t_1$을 소거하면 초점의 자취가 catenary임을 명확히 볼 수 있다.

$$ Y= a \cosh (X/a)$$

구르는 포물선의 꼭짓점의 자취는 

$$ X=- \frac{at}{\sqrt{1+t^2}} + a\sinh^{-1}(t), \quad Y= \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}}$$

처럼 주어진다. 따라서 초점과 꼭짓점을 알므로 구르는 포물선도 쉽게 그릴 수 있다.