Catenary: Rolling Parabola

Catenary는 여러 가지 놀라운 특징을 가지고 있는데 그중 하나가 포물선을 직선 위에서 굴릴 때 초점이 그리는 자취의 모양도 준다는 점이다. 포물선을 직선 위에서 굴리면 포물선 상의 각 점들은 회전과 동시에 병진 운동을 한다. 포물선의 초점이 어떻게 변화는 보기 위해서 구체적인 포물선을 사용하자. 포물선이 $4ay=x^2$으로 쓰면 초점은 $(0,a)$으로 주어진다. 포물선의 구름을 기술할 때는 매개변수를 사용하는 것이 편리하다. 꼭짓점에 해당하는 매개변수 값을 $t=0$으로 잡으면 포물선의 임의의 점은

$$(x,y)=(2at,a{t}^2)$$

표현할 수 있다. 굴림에 의해서 포물선 상의 한 점 $(x=2a{t}_1,y=a{t}_1^2)$가 $x$-축 위에 놓이게 되었다고 하자. 이때 회전각은 구르기 전 접선의 기울기에 해당하는 각 $\psi ={\tan }^{-1}(dy/dx)$ 이다 (그림 참조).

이 과정은 접점 $(x,y)$를 회전축으로 해서 초점의 변위 벡터 $(0,a{)}^T-(x,y{)}^T$를(그림의 붉은 화살표)는 시계방향으로 회전시킨 후(왼쪽 녹색 화살표), 원점에서 접점까지의 곡선 길이 $s$만큼 $x$축으로 평행이동시키면 된다(오른쪽 파란색 화살표). 곡선의 길이는 매개변수로 표현하면

$$s={\int }_0^{t_1}\sqrt{(2a{)}^2+(2a{t}^{\prime }{)}^2}d{t}^{\prime }=a(t_1\sqrt{1+t_1^2}+{\sinh }^{-1}(t_1)),$$

이다. 시계방향으로 회전행렬은

$$\mathbf{R}(\psi )=\left(\begin{array}{cc}\cos \psi & \sin \psi \\ -\sin \psi & \cos \psi \end{array}\right),\tan \psi =\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=t_1$$

로 표현할 수 있다. 따라서, 이 굴림에 의해서 초점의 위치는

$$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=\mathbf{R}.\left(\begin{array}{c}0-2a{t}_1\\ a-a{t}_1^2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}s\\ 0\end{array}\right)$$

로 옮긴다. 이를 정리하면 다음 식을 얻는다.

$$X=a{\sinh }^{-1}(t_1),Y=a\sqrt{1+t_1^2}$$

이 식에서 $t_1$을 소거하면 초점의 자취가 catenary임을 명확히 볼 수 있다.

$$Y=a\cosh (X/a)$$

구르는 포물선의 꼭짓점의 자취는 

$$X=-\frac{at}{\sqrt{1+t^2}}+a{\sinh }^{-1}(t),Y=\frac{a{t}^2}{\sqrt{1+t^2}}$$

처럼 주어진다. 따라서 초점과 꼭짓점을 알므로 구르는 포물선도 쉽게 그릴 수 있다.