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Gibbs Phenomenon

Mathematics 2022. 5. 6. 16:32

여러 가지 함수를 Fouries series로 재구성할 때 적은 수의 부분합으로도 함수의 원래 모양이 잘 재현되는 경우가 있는 반면에 아무리 많은 항을 더하더라도 재현되지 않는 경우도 있다. 왜 이런 차이가 생기는 것일까? 급격한 모양의 변화가 없는 연속함수에 비해 중간에 값이 점프하는 불연속점이 있는 함수는 Fourier series로 전개를 했을 때 함수의 원래 모양이 잘 재현되지 않는다. 불연속점 전후로 값이 큰 쪽에서는 overshoot가 발생하고, 값이 작은 쪽에서는 undershoot가 발생한다. 이 돌출부는 Fourier series의 부분합의 개수를 늘리더라도 없어지지 않는다. 이처럼 불연속점에서 Fouries series에서 overshoot 또는 undershoot가 발생하는 현상을 Gibbs phenomenon이라 한다. 이는 불연속점에서 직교 고유 함수 전개를 할 때도 나타나는 일반적인 현상이다. 

구체적으로 다음 식으로 표현이 되는 square wave

f(x)={1,0<x<π0,x=0,±π1,π<x<0

을 아래처럼 홀수의 harmonics을 순차적으로 더해서 근사하는 경우를 살펴보자. 

fk(x)=4πkj=1sin(2j1)x2j1=4π(sin(x)+sin3x3++sin(2k1)x2k1).

k이면 Fourier 전개에 해당한다. 이 합은 f(x)의 불연속점인 x=0,±π을 제외한 영역에서 square wave f(x)로 균일하게 수렴한다. 이는 k를 증가시키면 불연속점 근방을 제외한 영역에서 부분합 fk(x)의 그래프가 square wave의 그래프에 한없이 가깝게 접근함을 의미한다. 그러나 harmonics의 개수를 증가시키더라도 불연속 근방에서 돌출부의 overshoot나 undershoot의 세기는 변하지 않는다. 다만 k를 증가시키면 그 폭은 점점 불연속점을 향해 좁아진다. 불연속점(x=0)을 기준으로 좌우에서 첫째로 나타나는 극대/극소값의 크기는 |f(0)+f(0+)f(0)ππ0sin(x)xdx|로 계산된다. 이 값과 f(0±)과의 차이의 절반인 

1ππ0sin(x)xdx12=0.0894898불연속점 x=0에서 overshoot나 undershoot의 세기에 해당한다. 이 값은 Wilbraham-Gibbs 상수로 불린다.

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