Gibbs Phenomenon

여러 가지 함수를 Fouries series로 재구성할 때 적은 수의 부분합으로도 함수의 원래 모양이 잘 재현되는 경우가 있는 반면에 아무리 많은 항을 더하더라도 재현되지 않는 경우도 있다. 왜 이런 차이가 생기는 것일까? 급격한 모양의 변화가 없는 연속함수에 비해 중간에 값이 점프하는 불연속점이 있는 함수는 Fourier series로 전개를 했을 때 함수의 원래 모양이 잘 재현되지 않는다. 불연속점 전후로 값이 큰 쪽에서는 overshoot가 발생하고, 값이 작은 쪽에서는 undershoot가 발생한다. 이 돌출부는 Fourier series의 부분합의 개수를 늘리더라도 없어지지 않는다. 이처럼 불연속점에서 Fouries series에서 overshoot 또는 undershoot가 발생하는 현상을 Gibbs phenomenon이라 한다. 이는 불연속점에서 직교 고유 함수 전개를 할 때도 나타나는 일반적인 현상이다. 

구체적으로 다음 식으로 표현이 되는 square wave

\begin{gather}f(x)=\left\{ \begin{array}{cc}1, &  0<x <\pi \\ 0 , & x=0, \pm \pi \\ -1, & -\pi <x <0\end{array}\right. \end{gather}

을 아래처럼 홀수의 harmonics을 순차적으로 더해서 근사하는 경우를 살펴보자. 

\begin{gather}f_{k}(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{j=1}^{k} \frac{ \sin (2j-1)x}{2j-1}=\frac{4}{\pi}\left(\sin (x) + \frac{\sin 3x}{3} + \cdots + \frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}\right) .  \end{gather}

$k\to\infty$이면 Fourier 전개에 해당한다. 이 합은 $f(x)$의 불연속점인 $x=0, \pm\pi$을 제외한 영역에서 square wave $f(x)$로 균일하게 수렴한다. 이는 $k$를 증가시키면 불연속점 근방을 제외한 영역에서 부분합 $f_{k}(x)$의 그래프가 square wave의 그래프에 한없이 가깝게 접근함을 의미한다. 그러나 harmonics의 개수를 증가시키더라도 불연속 근방에서 돌출부의 overshoot나 undershoot의 세기는 변하지 않는다. 다만 $k$를 증가시키면 그 폭은 점점 불연속점을 향해 좁아진다. 불연속점$(x=0)$을 기준으로 좌우에서 첫째로 나타나는 극대/극소값의 크기는 $|f(0)+ \frac{f(0^+)-f(0^-)}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x} dx|$로 계산된다. 이 값과 $f(0^\pm)$과의 차이의 절반인 

$$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac {\sin (x)}{x} dx -\frac {1}{2}= 0.0894898\dots$$가 불연속점 $x=0$에서 overshoot나 undershoot의 세기에 해당한다. 이 값은 Wilbraham-Gibbs 상수로 불린다.