공통접선의 기울기는?

 

 

물이 채워진 통 옆면 구멍에서 나오는 물줄기는 포물선을 그린다. 구멍의 위치에 따라 포물선의 모양이 달라지지만 이 포물선들에 공통으로 접하는 직선을 찾을 수 있다. 이 공통접선의 기울기는 얼마일까?

1. 30도

2. 45도

3. 60도

수면의 꼭대기를 $y=0$으로 할 때 수면 아래 깊이 $h$에서 나오는 물줄기를 표현하는 곡선은 $y=-h-x^2/4h$이므로 깊이 $h$로 매개화된다. $h+x^2/4h\ge |x|$이므로 물줄기는 항상 직선 $y=-x$의 아래에 놓이고 $x=2h$일 때 등호가 성립하므로 그 지점에서 물줄기는 직선에 접하게 된다.