개는 얼마나 가속할 수 있을까?

동물이 달릴 때 다리와 바닥 사이의 마찰력으로 가속을 하거나 감속할 수 있다. 개가 얼마나 가속/감속을 할 수 있는가는 사냥개로써의 특성에 중요한 요소 중 하나이다. 그럼 어떤 신체적인 요건이 이를 결정하는 알아보기 위해 우선 개를 그림과 같이 간단히 강체로 근사를 하여 가능한 가속도를 구해보자.

개의 가속도가 $a_x$일 때, 뉴턴의 운동 방정식을 세우면

$$ \sum F_x = f_f + f_h = m a_x ,$$

$$ \sum F_y = N_f + N_h -m g = 0$$

그리고 넘어지지 않고 안정적으로 가속하기 위해서는 회전하지(넘어지지) 않아야 한다. 질량중심에 대한 회전운동방정식을 적으면

$$ \sum \tau = N_f L_f - N_h L_h + (f_f + f_h) L_\text{leg} = 0$$

가속하는 동안 개의 발이 땅에 접촉을 하기 있어야 하므로 앞 뒤 다리에 걸리는 수직항력은 $N_f \ge  0$, $N_h \ge 0$이어야 한다. 위 운동방정식에서 앞 다리와 뒷다리의 수직항력이 각각

$$ N_f = \frac{m L_\text{leg}}{L_f + L_h} \Big( g \frac{L_h}{L_\text{leg}} - a_x \Big),$$

$$ N_h = \frac{m L_\text{leg}}{L_f + L_h} \Big( g \frac{L_f}{L_\text{leg}} + a_x \Big)$$

이다. 가속하는 동안에는 항상 $N_h>0$이므로 $N_f \ge 0$ 조건에서 가능한 가속도는 

$$ a_x \le  g\frac{L_h}{L_\text{leg}}$$

이고, 또 감속($a_x<0$)하는 동안에는 항상 $N_f >0$이므로  $N_h\ge 0$인 조건에서 가능한 가속도는

$$ |a_x| \le  g\frac{L_f}{L_\text{leg}}$$

을 만족해야 한다. 즉, 가속/감속을 잘하는 사냥개의 조건은 허리가 길고 다리가 짧아야 한다.

참고: https://kipl.tistory.com/265

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