전기력은?

전하 $q$로 균일하게 대전된 정사각형 판(한변 길이=$a$)의 중심에서 위쪽으로 $a/2$ 만큼 떨어진 지점에 점전하 $Q$가 있다. 둘 사이에 작용하는 전기력은 같은 거리만큼 떨어진 두 점전하 $Q$와 $q$사이에 작용하는 전기력보다 몇 배 센가?

1. $\pi/2$

2. $\pi/4$

3. $\pi/6$

4. $\pi/8$

 

Hint: 구체적인 적분을 할 필요는 없다.

면전하가 $Q$에 작용하는 쿨롱힘은 정사각형의 중심에서 $Q$를 향하는 방향성분($\hat{k}$)만 기여하므로 ($dq = \sigma dA$)

$$F = k Q \sigma \int_\text{rect} \frac{dA }{r^2} \hat{k}\cdot \hat{r} =kQ \sigma \int_\text{rect}  \frac{dA \cos \theta }{r^2 } = kQ\sigma \int_\text{rect} d\Omega$$

그런데 정사각형의 중심에서 $a/2$ 떨어진 지점에서 잰 입체각은 한변의 길이 $a$인 정육면체의 중심에서 한 면이 차지하는 입체각의 크기와 동일하고, 이는 대칭성에 의해 $4\pi$의 $1/6$이다. 따라서 

$$F = kQ\sigma \frac{4\pi}{6} = \frac{kQ q}{(a/2)^2 } \frac{\pi}{6}$$