SVD Fitting

최소 자승법 문제는 추정치와 실제의 측정치와의 차이를 최소로 만드는 parameter vector를 구하는 것이다.
$$\underset{\mathbf{x}}{\text{argmin}}|\mathbf{A}.\mathbf{x}-\mathbf{b}{|}^2.$$

여기서 design matrix $\mathbf{A}$는 추정에 사용이 된 basis 함수를 각각의 독립변수에서 계산한 값이고, $\mathbf{x}$는 구하고자 하는 parameter vector이며, $\mathbf{b}$는 측정값 vector이다. 예를 들면 주어진 측정값을 $n-1$차의 다항식을 이용하여서 피팅하려고 하는 경우에는 parameter는 다항식의 계수가 되며 $n$-차원의 vector space을 형성하게 되며, $\mathbf{A}$는

$$A_{ij}=(x_i{)}^j,j=0,...,n-1$$

가 일 것이다. 일반적으로 $A_{ij}$는 $x_i$에서 계산된 basis-함수의 값이 된다. 위의 식을 $\mathbf{x}$에 대해서 미분을 하면 극값을 취하면 최소자승 문제는 아래의 행렬식을 푸는 문제가 된다

$$({\mathbf{A}}^T.\mathbf{A}).\mathbf{x}={\mathbf{A}}^T.\mathbf{b}.$$

${\mathbf{A}}^T.\mathbf{A}$ 은 $n\times n$ matrix다. 이 행렬이 역행렬을 가지게 되면

$$\mathbf{x}=({\mathbf{A}}^T.\mathbf{A}{)}^{-1}.(\mathbf{A}.\mathbf{b}),$$

를 하여서 원하는 parameter vector를 얻을 수 있다. 그러나 피팅 문제에 따라 행렬 ${\mathbf{A}}^T.\mathbf{A}$가 매우 singular 해져 역행렬을 구할 수 없게 되는 경우에 종종 생긴다. 예를 들면, 저주파의 신호를 고주파 기저 함수를 이용하여서 최소자승법을 사용하고자 하는 경우 등에 이러한 문제에 부딪히게 된다. 이런 경우에는 직접적으로 ${\mathbf{A}}^T.\mathbf{A}$의 역행렬을 구하는 방법을 이용할 수 없고

$$\mathbf{A}.\mathbf{x}=\mathbf{b}$$

의 식을 $\mathbf{A}$의 SVD(Singular Value Decomposition)를 이용하여서 풀 수가 있다. $\mathbf{A}$를 SVD 하면 ${\mathbf{A}}_{m\times n}={\mathbf{U}}_{m\times n}.{\mathbf{w}}_{n\times n}.{\mathbf{V}}_{n\times n}^T$의 형태로 분해할 수 있다. 여기서 $\mathbf{w}=\text{diag}(\underset{\text{nonzero}}{\underbrace{w_0,w_1,...}},0,..,0)$로 쓰여지는 대각행렬이다. matrix $\mathbf{U}$와 $\mathbf{V}$의 column vector를 사용하면
$$\mathbf{A}=\sum _{w_k\ne 0}{w}_k{\mathbf{u}}_k\otimes {\mathbf{v}}_k^T$$

의 형태로 쓰인다. ${\mathbf{u}}_k$는 $\mathbf{U}$의 $k$-번째 열벡터이고, ${\mathbf{v}}_k$는 $\mathbf{V}$의 $k$-번째 열벡터로 각각 orthonormal basis를 형성한다. parameter 벡터를 $\{{\mathbf{v}}_k\}$ basis로 전개를 하면 영이 아닌 singularvalue에 해당하는 성분만 가지게 된다. 구체적으로 위의 $\mathbf{A}$ 분해와 ${\mathbf{u}}_j^T.{\mathbf{u}}_k={\delta }_{jk}$, 그리고 $\sum _k{\mathbf{v}}_k\otimes {\mathbf{v}}_k^T={\mathbf{I}}_{n\times n}$임을 이용하면,

$$\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_k^T.\mathbf{x}={\mathbf{u}}_k^T.\mathbf{b}/w_k,w_k\ne 0,\\ {\mathbf{v}}_k^T.\mathbf{x}=0,w_k=0,\\ \to \mathbf{x}=\sum _{w_k\ne 0}({\mathbf{u}}_k^T.\mathbf{b}/w_k){\mathbf{v}}_k,\end{array}$$

이어서 위의 해를 구할 수 있다. 이 해는 $|\mathbf{A}.\mathbf{x}-\mathbf{b}{|}^2$를 최소화한다.

cubic polynomial fitting

int svd(double *A, int m, int n, double* w, double *V); // from cmath libary.
void fit_func(double x, double val[], int n) {          // polynomial fitting sample;
    val[0] = 1;
    for(int i = 1; i < n; ++i)
        val[i] = x * val[i - 1];
}
#define EPSILON 1.E-8
int svd_fit(const double x[], const double y[], const int m, const int n,
            void (*fit_func)(double , double [], int ),
            double params[],
            double *error)
{
    double *A = new double [m * n];
    double *w = new double [n];
    double *V = new double [n * n];
    // evaluate design matrix;
    for (int i = 0; i < m; ++i)
        fit_func(x[i], &A[i * n + 0], n) ;

    svd(A, m, n, w, V);
    // now A becomes U matrix;
    // truncate small singular values;
    double wmax = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (w[i] > wmax) wmax = w[i];
    double thresh = wmax * EPSILON;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (w[i] < thresh) w[i] = 0;
    
    // back substitution;
    double *tmp = new double [n];
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        double s = 0;
        if (w[j]) {
            for (int i = 0; i < m; ++i)
                s += A[i * n + j] * y[i];
            s /= w[j];
        }
        tmp[j] = s;
    }
    for (int j = 0; j < n; ++j) {
        double s = 0;
        for (int jj = 0; jj < n; ++jj)
            s += V[j * n + jj] * tmp[jj];
        params[j] = s;
    };

    //estimate error;
    *error = 0;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        fit_func(x[i], &A[i * n + 0], n); //use A as a tmp buffer;
        double sum = 0;
        for (int j = 0; j < n; ++j) sum += params[j] * A[i * n + j] ;
        double err = (y[i] - sum);
        *error += err * err ;
    }
    delete[] A; delete[] w; delete[] V;
    delete[] tmp;
    return 1;
}