충분한 시간이 지난 후 물체의 속력은?

경사면 위에서 놓인 물체가 수평방향으로 $v$의 속도로 운동을 시작한다. 물체와 바닥 사이의 마찰계수는  $\mu=\tan \theta$로 주어진다. 시간이 충분히 지난 후 물체의 속력은? (경사면은 매우 크고 넓다고 생각해도 된다)

1. $0$

2. $v/2$

3. $v$

4. $2v$

5. 한없이 커진다.

 

물체의 속도가 수평라인에 대해서 $\phi$만큼 아래를 향할 때, 물체의 운동방정식은(수평=$x$, 경사 아래=$y$)

$$m\frac{dv_x}{dt} = -\mu mg \cos \theta \cos \phi = -\mu mg \sin \theta\cos\phi~~(\text{안쓴다})$$

$$ m\frac {dv_y}{dt} = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta \sin \phi = mg\sin \theta(1-\sin \phi)$$

물체의 운동방향의 운동 방정식은 $(v=\sqrt{v_x^2 + v_y^2})$

$$ m\frac {dv}{dt} = mg\sin \theta \sin \phi - \mu \cos \theta = mg \sin \theta (\sin \phi -1)$$

두 식을 더하면

$$m\frac {d}{dt}(v_y + v) = 0~~\rightarrow~~ v_y +v =\text {const}=V$$

시간이 충분히 지나면 마찰력은 수평 속도를 없애므로 남는 것은 수직방향 속도 성분뿐이다. 따라서 $v_y(\infty) =v(\infty)$ 이므로 $v(\infty) =V/2$임을 알 수 있다.