줄이 물체를 당기는 힘은?

그림처럼 길이 $L$인 줄을 이용해서 물체를 당기려고 한다. 줄의 반대편 끝을 $H$만큼 높이 들었더니 수평에 대해서 아래로 처지지 않았다. 줄이 물체를 당기는 힘은? 줄의 선밀도는 $\mu$다.

1. $\mu g \frac{L^2 - H^2}{2H}$.

2. $\mu g \frac{L^2 - H^2}{2H}$보다 크다.

3. $\mu g \frac{L^2 - H^2}{2H}$보다 작다.

줄의 수평방향 성분$(T_0)$은 어디서나 일정하다. 그러나 줄의 무게 때문에 수직 성분은 변하게 된다. 임의의 지점에서 장력을 $T$라고 하면, $T_0 = T \cos \theta$이고, 수직방향의 운동 방정식은

$$ d(T \sin \theta) = \mu g ds \quad \rightarrow d(T_0 \tan \theta) = \mu g ds.$$

적분하면 

$$ T_0 \tan \theta_{end} = \mu g L .$$

$dy = ds \sin \theta$이므로 줄의 길이 대신 높이 $y$를 변수로 쓰면, 

$$d(T_0 \tan \theta) = \mu g \csc\theta dy.$$

다시 적분하면,

$$ T_0 (\sec \theta_{end} - 1) =\mu g H$$

따라서 $H$, $L$을 주면 $T_0$와 $\theta_{end}$을 얻을 수 있다.

$$T_0 =\mu g \frac{L^2 - H^2 }{2H}, \quad \theta_{end}=\tan^{-1} \frac{2HL}{L^2 - H^2}$$