수면의 기울기는

물이 담긴 수레가 경사면을 미끄러져 내려온다. 수면의 기울기는?

1. $0$

2. $\theta/4$

3. $\theta/2$

4. $\theta$

 

물은 경사면 방향으로 가속 운동($a = g\sin \theta$) 을 한다. 표면 근처의 물분자의 운동 방정식(수평=$x$, 수직=$y$)을 살펴보자. 물분자가 받는 힘은 표면에 수직한 방향의 압력 gradient $(\nabla P)$와 중력이 있다.

$$\begin{gather} \sum F_x = \nabla P \sin\alpha = ma_x = m g\sin \theta \cos \theta \\ \sum F_y = \nabla P  \cos \alpha  - mg = ma_y = -mg \sin \theta \sin \theta\end{gather}$$

표면은 압력이 일정해야 하므로 압력 gradient 방향에 수직해야 한다. 

$$\tan\alpha = \frac{\nabla P_x}{\nabla P_y} = \frac{g\sin \theta\cos \theta}{g-g \sin^2 \theta}=\tan \theta$$

이므로 표면은 경사면과 나란해야 한다.