발사각이 얼마일 때 가장 긴 경로를 가질까?

물체를 비스듬히 발사하면 포물선 경로를 그린다. 물체를 가장 멀리까지 보내기 위해서는 45도로 발사하면 된다. 그럼 물체가 움직이는 경로의 길이가 가장 길게 하려면 발사각을 얼마로 해야 하는가?

1. 45도

2. 45도 보다 작은 각

3. 45도 보다 큰 각

* 포물체 운동의 경로를 알아야 한다.

* 경로가 주워지는 경우 경로의 길이는 $\int_{t_i}^{t_f} \sqrt{\dot{x}(t)^2 + \dot{y}(t)^2}dt$로 표현되고 직접 적분하거나 Mathematica 등을 이용하면 된다.

발사각이 45도보다 작으면 45도인 경로 안쪽에 들어가므로 답이 될 수 없다. 포물체 운동하는 물체의 위치가 $x(t)=v\cos \theta t$, $y(t) =v \sin \theta t -\frac{1}{2} g t^2$로 표현되므로 경로의 길이는

\begin{gather} L=2\int_0^{\frac{v\sin \theta}{g}} \sqrt{ \left(v\cos \theta  \right)^2 + \left(v\sin \theta   - gt \right)^2}  dt\\=\frac{v^2}{g}\left( \sin \theta + \cos^2\theta \ln \frac{\sin \theta +1}{\cos \theta} \right) \end{gather}

로 표현된다. 극값을 구해보면 

$$1=\sin \theta \ln \frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}$$

을 만족해야 하는데, $\theta \approx 56.5^\circ$임을 알 수 있다. 또 $\theta=0$일 때는 0, $\theta =90^\circ$일 때는 $v^2/g$로 주어진다.