Partial wave에서 Born approximation

Born approximation을 사용한 경우 scattering ampitude는 

$$f_B(\theta)=- \frac{m}{ 2\pi \hbar^2} \int d^3 r' e^{-i \vec{k}' \cdot \vec{r}' } V(r) e^{i \vec{k}\cdot \vec{r}'}$$

로 얻어진다. $\vec{k}$는 입사파의 파수 벡터이고 $\vec{k}'$은 산란파의 파수 벡터로 둘의 사이각은 $\theta$이다. $\vec{r}'$과 $\vec{k}$의 사이각이 $\theta'$이고, $\vec{k}'$과 $\vec{r}'$의 사이각이 $\gamma$라 하자. 평면파를 각운동량 연산자의 고유함수로 전개를 하면

$$\begin{gather} e^{i\vec{k}\cdot \vec{r}'} = \sum _\ell i^\ell (2\ell+1) j_\ell(kr') P_\ell(\cos \theta')\\ e^{-\vec{k}'\cdot \vec{r}'} = \sum _\ell(- i)^\ell (2\ell + 1) j_\ell(k'r') P_\ell (\cos \gamma)\end{gather}$$ 로 쓸 수 있다.

그리고 spherical harmonic의 addition 정리를 사용하면 ($\vec{k}: (\theta, \varphi)$,  $\vec{r}': (\theta', \varphi')$)

$$P_\ell (\cos \gamma) =\frac{4\pi}{2\ell+1}  \sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}^*(\theta', \varphi') Y_{\ell m}^\vphantom{*} (\theta,\varphi)$$ 이 식들을 Born approximation에서 구한 scattering amplitude에 대입한 후 $\theta'$과 $\varphi'$의 적분을 하면 $m\ne0$인 항은 사라지고 남는 항은

$$f_B(\theta) = -\frac{2m}{\hbar^2} \sum_\ell (2\ell+1) P_\ell (\cos \theta) \int_0^\infty dr r^2  V(r) (j_\ell(kr))^2$$ 로 정리된다.

 

Partial wave 전개에서 scattering ampitude가 

$$f(\theta) =\frac{1}{k} \sum _\ell (2\ell+1)e^{i\delta_\ell} \sin \delta_\ell P_\ell (\cos \theta)$$

로 주어졌으므로 둘을 비교하면 

$$e^{i \delta_\ell}\sin \delta_\ell = -\frac{2mk}{\hbar^2} \int_0^\infty dr r^2 V(r) \left( j_\ell (kr)\right)^2$$

임을 알 수 있다. $\delta _\ell$이 작은 경우 우변은 $\delta_\ell$로 근사할 수 있다. 이 경우 

$$\delta_\ell  \approx -\frac{2mk}{\hbar^2} \int_0^\infty dr r^2 V(r) \left( j_\ell (kr)\right)^2$$

로  쓸 수 있다. 이 식을 보면 상호작용이 인력인 경우 $\delta_\ell>0$이고, 척력인 경우 $\delta_\ell<0$임을 알 수 있다.

$V(r)=-V_0 (r<R), ~0 (r>R)$일 때 s-wave phase shift는 ($kR \ll 1$)

$$\delta_0 \approx \frac{2m V_0}{k^2 \hbar^2} \int_0^{kR} dx \sin ^2 (x) =  \frac{mV_0}{k^2\hbar^2 }(kR- \cos (kR)\sin(kR)) \approx \frac{2mV_0}{3k^2 \hbar^2}(kR)^3$$