진동 주기는 얼마나 변하는가?

3개의 동일한 추를 역시 동일한 3개의 막대를 이용해서 그림처럼 연결하였다. pivot을 축으로 맨 아래 추를 흔들어 좌우로 진동시킬 때 주기를 $T_1$, 앞뒤로 진동시킬 때 주기를 $T_2$라면 $T_1/T_2$는

1. $1/2$

2. $1$

3. $\sqrt{3}$

4. $2\sqrt{3}$

 

https://kipl.tistory.com/484 의 풀이:

길이 $L$, 질량 $m$인 막대 진자의 운동 방정식을 쓰면

$$I \frac{d^2 \theta}{dt^2} = - mg \frac{L}{2} \sin \theta$$

인데, 막대 끝 회전축에 대한 회전관성이 $I= \frac{1}{3} mL^2$이므로

$$\frac{d^2 \theta}{dt^2} = - \frac{3g}{2L} \sin \theta$$

시간 $t~$를 차원이 없는 변수 $\tau = \sqrt{3g/2L}t~$로 바꾸면 운동 방정식은 

$$\frac{d^2 \theta}{d\tau^2} = - \sin \theta$$

이다. 진동각 $\theta~$을 $\tau~$의 함수로 보면 처음 정지상태에서 같은 출발각($\theta_0$)을 가지고 운동을 시작하는 경우 $\theta(\tau)$는 길이나 질량에 무관하게 동일한 해로 표현된다(구체적으로 어떤 형태인지는 중요하지 않다). 따라서 $\tau~$에 대해서 동일한 주기를 갖게 된다. 길이가 $L$ 경우와 $4L$인 경우 시간 $t~$에 대한 주기는

$$\sqrt{\frac{3g}{2L}} T_{L}= \sqrt{\frac{3g}{2(4L)}} T_{4L}~~\Longrightarrow~~\frac{T_{4L}}{T_{L}} = 2$$

이 식은 일반적인 출발각에 대해서 성립하는 관계이다. 작은 각 근사를 쓰는 경우 주기는 $T \propto \sqrt{L}~$이므로 역시 확인할 수 있다.