막대 진자의 주기는?

길이가 $L$인 막대가 한쪽 끝을 축으로 자유롭게 회전할 수 있다. 수직에서 $\theta_0 < \frac{\pi}{2}$만큼 벌린 후 놓았더니 주기가 $T$인 진동을 한다. 막대의 길이를 $4L$로 하고 같은 각을 벌린 후 놓았다면 진동의 주기($T'$)는 어떻게 되는가?

1. $\theta_0$에 상관없이 $T' =2T$
2. $T' > 2T$인데, $\theta_0 \ll 1$이면 $T' \approx 2T$
3. $T' < 2T$인데, $\theta_0 \ll 1$이면 $T' \approx 2T$
4. $\theta_0$ 범위에 따라  $T' > 2T$ 또는 $T' < 2T$이다.

풀이는 https://kipl.tistory.com/482의 하단

 

* https://kipl.tistory.com/488의 풀이:

자전거가 가속을 하므로 질량중심 좌표계를 사용해야 단순하다. 

수평방향의 정지 마찰력이 구심력 역할을 한다: $f= mv^2/R$.

그리고 수직방향으로 중력과 수직항력이 평형을 이루고 있다: $N=mg$

질량중심을 기준으로 보면 정지 마찰력은 반시계 방향으로 회전시키는 토크를 만들므로 안정적으로 회전하기 위해서는 수직항력이 시계방향으로 회전시키는 토크를 만들 수 있게 몸을 트랙 안쪽으로 기울여야 한다. 기울인 각도를 $\theta$라 하면 수직항력과 마찰력의 토크 평형에서(바퀴의 접촉점에서 자전거+사람의 무게중심까지 거리를 $d$라면):  $Nd\sin \theta = f d \cos \theta$

$$\tan \theta = \frac{f}{N} = \frac{v^2}{gR}= \frac{ (10\text{m/s})^2 }{(9.8\text{m/s}^2)(30\text{m}) }$$

$$\therefore \theta=18.8^\circ$$

사람의 사이즈가 트랙에 비해 무시할 만큼 작다는 전제가 있어야 한다. 그리고 트랙의 마찰이 충분해서 밀리지 않는다는 전제도 필요한다. 위에서 구한 정지 마찰력이 최대 정지 마찰력보다 커지면 자전거는 미끄러진다.