막대가 모서리에서 떨어지는 각도

탁자의 모서리에 똑바로 서 있는 막대가 있다. 이 막대에 작은 충격을 주면 모서리를 축으로 회전을 하다가 떨어진다(막대 끝이 회전할 수 있게 되어야 함). 막대가 모서리를 떠나는 각 $\theta_c$는? 마찰은 무시한다.

 

풀이: 

막대는 탁자에서 떨어지기 전까지는 모서리를 축으로 막대의 질량중심은 원운동을 한다. 막대에 작용하는 외력이 수직항력(막대방향)과 중력인데 이 중 구심력 역할을 하는 성분은 $mg\cos \theta - N$이므로 질량중심의 운동방정식은

$$ \sum F_\text{centripetal} =  mg \cos \theta - N = m \frac{L}{2} \omega ^2$$

수직항력 $N \to 0$이 되면 막대는 모서리에서 떠나게 된다. 역학적 에너지 보존을 고려하면 

$$ mg \frac{L}{2} =  \frac{1}{2} \frac{1}{3}mL^2 \omega^2 + mg\frac{L}{2}\cos \theta$$

$$ \to ~\omega^2 = 3 \frac{g}{L} (1-\cos \theta)   $$

얻을 수 있고, 이를 대입하면 

$$ N = mg \left( \frac{5}{2}\cos \theta - \frac{3}{2} \right) $$

이어서 $ \theta_c =\cos ^{-1} \frac{3}{5} = 53.13^\circ$ 정도에서 떨어진다.

이후 막대는 질량중심에 대해서 회전하면서(떨어지기 직전의 각속도를 가지고) 질량중심은 포물선 운동을 하게 된다.