막대는 언제 미끄러지는가?

마찰이 있는 책상모서리에 그림과 같이 수평하게 왼쪽 끝이 걸쳐있는 막대를 잡고 있다가 놓는다. 마찰때문에 막대는 바로 미끄러져 떨어지지 않고  모서리를 기준으로 회전운동을 하다가 미끄러져 떨어진다. 그 때 $\theta$는? 단, 막대와 모서리 사이의 정지마찰계수는 $\mu$.

풀이:

막대에 작용하는 힘은 막대방향의 마찰력(막대가 미끄러지는 것을 방해하는 방향), 막대에 수직하게 수직항력, 그리고 중력이 작용한다.

막대 왼쪽 끝에 대한 회전방정식을 세우면: 중력만 토크에 기여한다

$$ mg \frac{L}{2} \cos \theta = \frac{1}{3} mL^2 \alpha$$

막대 질량중심에 대한 회전방정식을 세우면: 수직항력만 토크에 기여한다

$$ N \frac{L}{2} = \frac{1}{12} mL^2 \alpha $$

따라서 두 식에서 수직항력은 $$N = \frac{1}{4} mg \cos \theta$$

막대의 질량중심이 원운동을 하고 회전중심을 향하는 힘은 마찰력과 중력의 막대방향성분

$$ f- mg \sin \theta = m \frac{L}{2} \omega^2$$

에너지 보존을 사용하면 각속도를 구할 수 있다.

$$ mg \frac{L}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}\frac{1}{3}mL^2 \omega^2$$

이므로 

$$ f = \frac{5}{2} mg \sin \theta$$

따라서 미끄러지지 않기 위해서는

$$ f\le\mu N\quad \to \quad \tan \theta \le \frac{\mu}{10}$$

변형된 상황: 막대길이의 $(1/2-x)L$만큼이 테이블 위에 있을 때

풀이:

테이블 모서리가 회전축이 되고, 막대의 질량중심에서 모서리까지 거리가 $xL$이므로 평행축정리에 의해서 모서리에 대한 회전관성은 $I = \frac{1}{12}mL^2 + mx^2L^2 = \frac{1+12x^2}{12}mL^2$임.

모서리에 대한 회전운동방정식은 중력만 토크에 기여하므로

$$ mg {xL} \cos \theta = \frac{1+12x^2}{12} mL^2 \alpha ~\to ~ \alpha = \frac{12x}{1+12x^2}\frac{g}{L} \cos \theta$$

질량중심에 대한 회전운동방정식은 수직항력(막대에 수직방향)만 토크에 기여하므로

$$ N {xL} = \frac{1}{12} mL^2 \alpha ~\to ~ N =\frac{1}{12x}mL \alpha = \frac{1}{1+12x^2} mg \cos \theta$$

질량중심은 모서리를 기준으로 회전운동을 하는데 마찰력(막대방향 반대)와 중력의 막대방향성분이 구심력 역할을 한다.

$$ f - mg \sin \theta = m xL \omega^2 ~\to ~ f = mg \sin \theta +  x mL \omega^2$$

에너지 보존에서 

$$ mg x \sin \theta= \frac{1}{2} \frac{1+12x^2 }{12} mL^2 \omega^2 ~\to ~ \omega^2 =\frac{24x}{1+12x^2}\frac{g}{L} \sin \theta$$

 을 얻으므로 마찰력은 

$$ f = \frac{1+ 36x^2}{1+12x^2} mg \sin \theta$$

따라서 정지마찰계수가 $\mu$인 경우 미끄러지기 시작하는 각도는

$$ \mu = \frac{f}{N} = {1+36x^2} \tan \theta  ~\to ~ \tan \theta =\frac{\mu}{1+36x^2}$$

$x=1/2$이면 처음 예제에 해당한다. 막대의 중심이 거치는 경우는 $\tan \theta=\mu$로 주어지지만 이 경우 $\alpha=0$이어서 운동을 시작할 수 없다. 운동을 시작시키기 위해서는 처음 약간의 충격토크를 주어야 한다.