오른쪽 줄을 자른 직후 막대의 회전각가속도는?

두 개의 줄로 그림처럼 매달린 막대가 있다. 오른쪽 줄을 자른 직후 막대의 회전각가속도는?

풀이:

1. 질량중심의 운동방정식: 

$$\begin{array}{rl}& \sum F_y=mg-T\sin \theta =m{a}_y(\text{down+})\\ & \sum F_x=T\cos \theta =m{a}_x(\text{left+})\end{array}$$

2. 질량중심에 대한 회전방정식은 장력이 토크에 기여하므로: 

$$\sum \tau =T\frac{L}{2}\sin \theta =\frac{1}{12}m{L}^2\alpha$$

3. 미지수가 $T$, $a_x$, $a_y$, $\alpha$인데 방정식은 3개 밖에 없다. 나머지 조건은 줄이 늘어나지 않으므로 막대 왼쪽 끝의 줄 방향 가속도 성분은 0이어야 한다는 사실에서 찾을 수 있다(왼쪽 끝은 막대에 수직한 방향으로 가속된다). $a_x$, $a_y$, 그리고 회전에 의한 접선가속도 $\frac{L}{2}\alpha$의 줄방향 성분이 사라지는 조건을 쓰면

$$a_{\text{parallel to string}}=a_x\cos \theta +\alpha \frac{L}{2}\sin \theta -a_y\sin \theta =0$$

4. 4개의 연립방정식을 풀면 

$$\alpha =\frac{6{\sin }^2\theta }{1+3{\sin }^2\theta }\frac{g}{L}$$

장력은

$$T=\frac{\sin \theta }{1+3{\sin }^2\theta }mg$$을 얻는다. $\theta =\frac{\pi }{2}$이면 $T=\frac{mg}{4}$이다.

https://kipl.tistory.com/130

막대가 운동을 시작할 때 줄에 걸리는 힘은?