오른쪽 줄을 자른 직후 막대의 회전각가속도는?

그림과 같이 줄로 연결된 막대가 있다. 오른쪽 줄을 자른 직후 막대의 회전각가속도는?

풀이:

1. 질량중심의 운동방정식: 

\begin{align} &\sum F_y = mg-T \sin \theta= ma_y ~(\text{down+})\\ &\sum F_x = T \cos \theta = ma_x ~(\text{left+})\end{align}

2. 질량중심에 대한 회전방정식은 장력이 토크에 기여하므로: 

$$\sum \tau = T \frac{L}{2} \sin \theta = \frac{1}{12}mL^2 \alpha  $$

3. 미지수가 $T$, $a_x$, $a_y$, $\alpha$인데 방정식은 3개 밖에 없다. 나머지 조건은 줄이 늘어나지 않으므로 막대 왼쪽 끝의 줄 방향 가속도 성분은 0이어야 한다는 사실에서 찾을 수 있다(왼쪽 끝은 막대에 수직한 방향으로 가속된다). $a_x$, $a_y$, 그리고 회전에 의한 접선가속도 $\frac{L}{2}\alpha$의 줄방향 성분이 사라지는 조건을 쓰면

$$ a_\text{parallel to string}=a_x \cos \theta + \alpha \frac{L}{2}\sin \theta - a_y\sin \theta=0$$

4. 4개의 연립방정식을 풀면 

$$ \alpha =  \frac{6 \sin^2 \theta}{1+ 3\sin^2 \theta}\frac{g}{L}$$

장력은

$$ T= \frac{\sin \theta }{1+3 \sin^2 \theta} mg $$을 얻는다. $\theta=\frac{\pi}{2}$이면 $T=\frac{mg}{4}$이다.

https://kipl.tistory.com/130

막대가 운동을 시작할 때 줄에 걸리는 힘은?