막대가 운동을 시작할 때 줄에 걸리는 힘은?

막대의 양끝을 두 줄 $A$, $B$를 이용해서 천정에 평행하게 매달았다. $B$를 자르면 막대는 움직이기 시작할 것이다. 운동을 시작하는 순간 $A$에 걸리는 장력은?

1. 자르기 전과 같다.

2. 자르기 전보다 크다.

3. 자르기 전보다 작다. 

 

(1) 줄을 자른 직전의 줄의 장력은?

- 각 줄은 막대 무게의 절반을 부담한다.

 

(2) 줄을 자른 직후의 잘리지 않은 줄에 걸리는 장력은?(막대가 여전히 나란한 상태)

- 막대에 작용하는 힘: 장력(윗방향), 중력(아래 방향);

알짜힘이 수직방향으로만 작용하므로

$$ \sum F_y = mg - T = ma_y$$

을 얻고, 질량중심에 대한 회전운동은 장력이 토크에 기여하므로

$$ \sum \tau_\text{cm} = T \frac{L}{2}  = \frac{1}{12} mL^2 \alpha$$

구해야 할 미지수는 $a_y$, $T$, $\alpha$인데, 식은 두 개 밖에 없다. 하나의 제약조건은 막대 왼쪽 끝이 늘어나지 않는 줄에 연결되어 있으므로 이 부분의 줄방향 가속도 성분은 항상 0이 되어야 한다. 줄을 끊은 직후, 왼쪽 끝은 질량중심과 같은 아래 방향과 가속도와 회전에 의한 접선 가속도(위쪽 방향)를 가질 수 있는데 이 두 성분의 합이 0이 되어야 한다. 

$$ a_y = \frac{L}{2} \alpha$$

따라서, 이들 3 식을 연립하면

$$ a_y = \frac{3}{4}g, \quad \alpha = \frac{3}{2}\frac{g}{L},\quad T = \frac{1}{4} mg$$

 

물론 처음 왼쪽 끝을 기준으로 순간회전한다는 사실을 이용해도 구할 수 있다. 이후 막대는 어떤 방식으로 움직이게 될까?