가속하는 버스에서 넘어질 조건은?

버스가 갑자기 가속을 하면 서 있는 사람은 넘어질 수 있다. 어느 정도의 가속도에서 넘어질까? 넘어지는 기준은 가속도 방향의 발이 바닥에서 떨어질 조건과 같다. (물론 실제 상황에서는 몸을 다시 움직여서 안 넘어지려는 시도를 할 수 있지만, 여기서는 사람을 딱딱한 강체로 근사한다. 또한 미끄러짐은 생각하지 않는다)

1. $dg/h$
2. $dg/(2h)$
3. $hg/d$
4. $hg/(2d)$

사람에 작용하는 힘은 자신의 무게(무게 중심의 높이 = $h$)와 양발(간격 = $d$)에 작용하는 수직항력과 차와 같이 움직이게 하는데 필요한 마찰력이 있다. (그냥 서있어서 손잡이에 의한 힘은 무시한다) 사람의 자유물체도는 아래와 같다:

 

미끄러지지 않는다고 가정하면 사람의 질량중심은 버스와 같은 가속도로 움직인다. 질량중심의 운동 방정식과 질량중심에 대한 회전 운동 방정식을 고려하면(질량중심에 대해서 $f_1$, $f_2$, $N_2$는 반시계 방향으로 회전시키려하고 $N_1$은 시계 방향으로 회전시키려 한다. 넘어지지 않은 상황에서는 이들 토크 사이에 균형이 있어야 한다)

$$\sum F_x=f_1+f_2=Ma,$$

$$\sum F_y=N_1+N_2-Mg=0,$$

$$\sum {\tau }_{\text{cm}}=(f_1+f_2)h+(N_2-N_1)\frac{d}{2}=0$$

풀어야 할 미지수는 $f_1$, $f_2$, $N_1$, $N_2$로 4개인데 식이 3개밖에 없어 미지수가 완전히 결정이 안 되는 구조이지만 수직항력만은 구할 수 있다.

$$N_1=\frac{Mg}{2}+\frac{Mah}{d},$$

$$N_2=\frac{Mg}{2}-\frac{Mah}{d}.$$

넘어지지 않기 위해서는 양발에 걸리는 수직항력이 0 보다 커야 한다. $N_1$은 항상 양수이므로 $N_2\ge 0$ 조건에서 넘어지지 않을 최대 가속도는 

$$a_{\text{max}}=\frac{dg}{2h}.$$

사람의 질량중심이 낮을수록($h$), 두 발을 넓게 벌릴수록($d$) 더 큰 가속도에 넘어지지 않고 견딜 수 있다. 그리고 몸무게에는 무관하다.

$h=100\text{cm},d=50\text{cm}$ -> $a=2.45{\mathrm{m}}^2/\mathrm{s}$: 100 미터를 9초에 도달할 수 있는 가속도