Otsu-알고리즘의 새로운 해석

제대로 segmented 된 그레이 영상은 원래의 영상이 나타내고자 하는 전경이 잘 표현이 된 것이다. 이 경우의 원래 영상과 segmented 된 영상은 높은 상관관계를 갖는다. 따라서, 세그먼트를 위한 임계값의 설정 기준으로 이 상관계수를 최대로 하는 임계값을 찾는 것도 좋은 방법 중의 하나가 될 수 있다.

여기서 사용할 상관계수는 원래의 영상(A)과 전경과 배경을 그들의 픽셀 평균값으로 대체한 segmented 된 영상(B) 간의 상관계수를 사용한다. 임계값이 $T$인 경우 세그먼트된 영상 B는 

$$B(i,j)=\{\begin{array}{ll}{m}_0,& \text{if}A(i,j)\le T\\ m_1,& \text{otherwise}\end{array}$$

로 나타난다. 여기서 $m_0$는 배경 픽셀의 평균값이고, $m_1$은 전경 픽셀의 평균값이다. 이 값은 임계값 $T$에 따라 달라진다. 임계값이 높으면 $m_0$는 커지고, 반대로 $m_1$은 작아진다. 

 

임계값이 $T$일 때 배경 픽셀 비를 $p$, 전경 픽셀 비를 $q(=1-p)$라 하면 segmented된 영상 B는 각 영역에서의 픽셀 값을 평균으로 대체했으므로 원본 영상의 평균과 같다. 또한, 원본 영상의 분산은 임계값에 무관하게 일정한 값을 유지한다. 이를 정리하면,

$$E(A)=E(B)=m=\text{pixel mean}=p{m}_0+q{m}_1$$

$$V(A)=\text{variance}=T\text{-independent}=\text{const}$$

$$V(B)=p{m}_0^2+q{m}_1^2-m^2=pq(m_0-m_1{)}^2$$

$$E(A,B)=p{m}_0^2+q{m}_1^2$$

$$E(A,B)-E(A)E(B)=V(B)$$ 이므로, 

$$\begin{array}{rl}\text{Correlation}(A,B)& =\frac{E(A,B)-E(A)E(B)}{\sqrt{V(A)V(B)}}\\ & =\frac{\sqrt{pq(m_0-m_1{)}^2}}{\sqrt{V(A)}}\\ & \propto \sqrt{pq(m_0-m_1{)}^2}\\ & =\sqrt{\text{interclass variance}}\end{array}$$

즉, 원래의 그레이 영상 A와 전경과 배경 픽셀을 각각의 평균값으로 대체한 영상간의 상관계수는 전경과 배경 두 클래스 간의 분산이 최대일 때 가장 크게 나타난다. 이 기준은 Otsu 알고리즘에서 사용한 기준과 같다.

 

참고: Otsu Algorithm 구현 예.