Integration along a branch cut-027

$$I = \int_{0}^{3} \frac{  \sqrt[3]{ x (3-x)^2 }dx }{1+x} = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( 6-  4\times 2 ^{1/3} \right) \approx 0.554439 \times \pi $$

복소함수

$$ f(z) = \frac{\sqrt[3]{ z (3-z)^2}}{1+z}$$의 적분을 고려하자. Branch point가 $z=0,1$이므로 cutline을 $0 \le x  \le 3$으로 선택하자. 그러면 위상은 

$$ 0 \le \arg(z),~\arg(z-3) \le 2\pi$$

로 선택할 수 있다. 적분경로는 cutline을 감싸는 dog bone 모양과 반지름 $R > 3$인 원 $C_R$로 잡는다.

$z=-1$은 $f(z)$의 simple pole이고 residue는 

$$ \text{Res} f(-1) = \left( e^{i\pi} (4 e^{i\pi})^2 \right)^{1/3} = - 4^{2/3}$$

이다. 또, 무한대에서 residue를 갖으므로 $C_R$에서 적분은

$$ f(z) = \frac{(1-3/z)^{2/3}}{1+1/z} = 1- \frac{3}{z}+\cdots \quad \\ \to~~  \int_{C_R} f(z)dz =-2\pi i \times \text{Res}f(\infty) = -6\pi i$$로 계산된다.

$C_1$에서 $z= x e^{i0}$, $z-3= (3-x)  e^{i\pi }, ~(x:-1\to 1)$이므로 

$$ \int_{C_1} f(z)dz = \int_{-1}^{1} \frac{ \sqrt[3]{x(3-x)^2 }   e^{i 2\pi/ 3}dx} {1+x} =  e^{i 2\pi/3} I$$

$C_2$에서 $z= x e^{i 2\pi}$, $z-3=(3-x) e^{i\pi}, ~(x:1\to-1)$이므로

$$ \int_{C_2} f(z) dz = \int_{1}^{-1} \frac{ \sqrt[3]{x(3-x)^2} e^{i 4\pi/3} dx}{1+x}= - e^{i 4\pi/3} I$$

따라서

$$ \int_{C_1+C_2+C_\epsilon+C'_\epsilon} f(z)dz + \int_{C_R} f(z) dz = 2\pi i \times \text{Res}f(-1) \\ \to~~( e^{i 2\pi/3} - e^{i 4\pi/3}) I - 6\pi i  = 2\pi i \left(- 4^{2/3} \right) \\ I = \frac{\pi}{\sqrt{3}} \left( 6 - 4\times 2^{1/3} \right)$$