Integration along a branch cut-026

$$I = \int_{0}^{1} \frac{x\sqrt{x}  dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x}} = \pi \left(1-\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{2}} \right) \approx  \pi \times  0.223113$$

복소함수 

$$f(z)  = \frac{z\sqrt{z}}{(1+z^2)\sqrt{1-z}}$$ 의 적분을 고려한다.

cutline이 $(-\infty,0]+[1,\infty)$임

제곱근 함수 때문에 branch cut을 도입을 해야 하는데, branch point가 $z=0,1$이므로 이 두 점을 잇는 선분을 cut line으로 선택하자. 그러면 다음과 같이 위상을 선택할 수 있다.

$$-\pi \le \arg(z) \le \pi, \quad 0\le \arg (1-z) \le 2\pi$$ 적분경로는 cut line을 시계방향으로 감싸는 dog bone 모양과 $C_\infty$로 잡는다.

그러면 $z=\pm$가 $f(z)$의 simple pole이고 residue는 각각

$$\text{Res}f(z=i) = \frac{i e^{i\pi/4}}{2i \sqrt{2} e^{i7\pi/8}}= \frac{e^{-i5\pi/8}}{2\sqrt{2}} \\ \text{Res}f(z=-i) = \frac{-i e^{-i\pi/4}}{-2i \sqrt{2} e^{i\pi/8}}=\frac{e^{-i3\pi/8}}{2\sqrt{2}}$$

$C_1$에서 $z= xe^{i0}$, $z-1= (1-x) e^{i\pi} \to  1-z=(1-x)e^{i2\pi}, ~(x:-1\to 1)$이므로 

$$\int_{C_1} f(z) dz = \int_{-1}^{1} \frac{x\sqrt{x} dx}{(1+x^2) \sqrt{1-x} e^{ i\pi}}= -I$$

$C_2$에서 $z= xe^{i0}$, $z-1=(1-x) e^{i\pi} \to 1-z= (1-x) e^{i0},~(x:1\to -1)$이므로

$$\int_{C_2} f(z)dz = \int_{1}^{-1} \frac{x\sqrt{x}dx}{(1+x^2)\sqrt{1-x}} = -  I$$

그리고 $C_\infty$에서는 $z = R e^{i \theta }$이므로

$$\int _{C_\infty} f(z)dz= \int_0 ^{2\pi}  \frac{R\sqrt{R} (i Re^{i \theta}d \theta)}{R^2( i\sqrt{ R})} = 2\pi$$  

따라서 residue 정리에 의해서

$$\int_{C_1+C_2+C_\epsilon +C'_\epsilon+ C_\infty} f(z)dz = -I -I +2\pi   = 2\pi i \left( \text{Res}f(i) + \text{Res}f(-i)\right)\\ = \pi \sqrt{1+\sqrt{2}} \\ \quad \to \quad I = \pi \left(1 -\frac{1}{2}\sqrt{1+\sqrt{2}} \right)$$