도넛의 표면적, 부피

도넛의 표면은 수학적으로 torus와 같은 구조를 가진다. 반지름 $r$이고 길이가 $2\pi R$인 원통을 둥글게 구부리면 그림의 오른쪽과 같은 토러스를 만들 수 있다.

수학적으로는 중심이 $z$축에서 $R$만큼 떨어진 반지름 $r$인 원을 $z$에 대해 회전을 시켜서 만들 수 있다. 이 사실을 이용하면 토러스의 표면적은 쉽게 구할 수 있다. $z$축에 대한 회전각을  $\theta$, $x(y)-z$평면에 회전각을 $\phi$라고 하자. 그리고 $\theta$방향으로 일정한 간격 $d\theta$만큼으로 토러스를 자르면 잘려진 부분의 표면은 축에 가까운 쪽은 폭이 $(R-r)d\theta$, 먼쪽은 폭인 $(R+r)d\theta$인 고리띠의 모양을 한다. 사이에서 고리띠의 폭은 $(R+r\cos \phi )d\theta$임을 쉽게 알 수 있다.

따라서 이 고리띠의 미소면적 $(R+r\cos \alpha )d\theta \times (rd\phi )$을 $\phi$에 대해 적분하면 $$\text{고리띠 면적}=dA={\int }_0^{2\pi }(R+r\cos \phi )rd\phi =2\pi rRd\theta$$이 결과를 $\theta$에 대해 적분하면 토러스의 면적을 얻을 수 있다.

$$\text{Area of torus}={\int }_0^{2\pi }2\pi rRd\theta =4{\pi }^{2}rR$$

좀 더 수학적으로 하면 2차원 표면의 법선벡터를 $\overrightarrow{v}$라면 면적은 

$$\text{Area}=\iint |\overrightarrow{v}|dA$$

인데, 앞에서 도입한 $\theta ,\phi$을 이용하면

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{r}=((R+r\cos \phi )\cos \theta ,(R+r\cos \phi )\sin \theta ,r\sin \phi )\\ \to |\overrightarrow{v}|=|\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \theta }\times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial \phi }|=r(R+r\cos \phi )\\ \text{Area}={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }r(R+r\cos \phi )d\theta d\phi =4{\pi }^{2}rR\end{array}$$

토러스의 부피는 앞에서 고리띠(기울어지게 잘린 미소 실린더: 중심에서 높이=$Rd\theta$)의 부피가 $dV=\pi r^2\times Rd\theta$이므로 

$$\text{Volume}={\int }_0^{2\pi }\pi r^{2}Rd\theta =2{\pi }^2{r}^{2}R$$